4.4. Принцип Архимеда

    Теорема 2. Каково бы ни было действительное число a, существует такое натуральное число n, что n > a.
    Если бы утверждение теоремы не имело места, то нашлось бы такое число a, что для всех натуральных чисел n выполнялось бы неравенство n < a, т. е. множество натуральных чисел N было бы ограничено сверху. Тогда, согласно теореме 1, у множества N существовала бы конечная верхняя грань:

Поскольку - 1 < , то в силу определения верхней грани (см. свойство 2 в определении 2' в п. 4.2) найдется такое натуральное число n, что n > - 1, т. е.

но n + 1 - также натуральное число: n + 1 N, поэтому неравенство (4.20) противоречит условию (4.19). 

     Следствие (принцип Архимеда). Для любых чисел a и b таких, что 0 < a < b, существует натуральное число n, для которого выполняется неравенство

Действительно, согласно теореме 2 для числа b/a существует такое натуральное число n, что n > b/a, откуда сразу и следует (4.21). 

Арифметические свойства верхних и нижних граней Оглавление   Принцип вложенных отрезков