4.2. Верхняя и нижняя грани

    Определение 2. Пусть числовое множество X ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X R, называется его верхней гранью и обозначается sup X или (от латинского слова supremum - наибольший). Если числовое множество X ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X, называется его нижней гранью и обозначается inf X или ( от латинского слова infinum - наименьший).
    Итак, = sup X, если, во-первых, число ограничивает сверху множество X, т. е. для всех x X выполняется неравенство x < , а во-вторых, число  является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X (т. е. если ' < , то число ' уже не ограничивает сверху множество X, а это означает, что существует такое x X, что x > ').
    Таким образом, определение верхней грани можно перефразировать в следующем виде.
    Определение 2'. Число называется верхней гранью числового множества X, если:
    1) для любого x X выполняется неравенство x < ;
    2) для любого ' < существует такой x X, что x > ' (рис. 44).

Рис. 44

Рис. 45

    Аналогично, число называется нижней гранью числового множества X, если:
    1) для любого x X выполняется неравенство x > ;
    2) для любого ' > существует такой x X, что x < (рис. 45).
    Если во втором условии положить = - ' (соответственно = ' - ), то это условие можно перефразировать следующим образом:
    2') для любого > 0 существует такой x X, что x > -  (соответственно x < +   ).
    Пример. Пусть a R и b R, a < b; тогда

sup [a, b] = sup (a, b) = b,    inf [a, b] = inf (a, b) = a,

    Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.
    В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой , существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший - наибольшим.

    Теорема1. Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.
    Пусть числовое множество A ограничено сверху, A , а B - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Если a A и b B, то из определения числа, ограничивающего сверху множество, следует, что a < b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел (п. 2.1, свойство V) существует такое число , что для всех a A и всех b B будет выполняться неравенство a < < b. Неравенство

a < ,   a A,

означает, что число ограничивает сверху множество A, а неравенство

< b,   b B,

- что число является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество A. Следовательно, = sup A. Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.
    Замечание 1. Если числовое множество X неограничено сверху, то у него не существует верхней грани в смысле определения 2. В этом случае по определению полагаем, что верхней гранью множества X является
+:

sup X +.

Отметим, что при таком определении условия 1) и 2) определения 2') оказываются выполненными, если использовать соглашение (2.2) (п. 2.2).
    Если числовое множество X неограничено снизу, то его нижней гранью является -:

inf X -.

    Благодаря этому соглашению и теореме 1 всякое непустое числовое множество имеет единственную верхнюю (нижнюю) грань, конечную, если оно ограничено сверху (снизу), и бесконечную, если оно не ограничено сверху (снизу).

    Замечание 2. Если X - числовое множество и для некоторого числа a и всех x X выполняется неравенство x < a (соответственно x > a), то < a, так как sup X (соответственно inf X) является наименьшим (наибольшим) среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) множество X. Иначе говоря, в неравенствах можно переходить к верхним и нижним граням.

Ограниченные и неограниченные множества  Оглавление   Арифметические свойства верхних   и нижних граней