5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей

    Определение 5. Числовая последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу).
    Иначе говоря, числовая последовательность {x_n} ограничена сверху (снизу), если существует такое число
c R, что для всех номеров n выполняется неравенство x_n < c (соответственно неравенство x_n > c).
    Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Таким образом, числовая последовательность {x_n} ограничена, если существуют такие числа a R и b R, что для всех номеров n выполняется условие a < x_n < b. Это условие, очевидно, равносильно тому, что существует такое число c > 0, что для всех номеров n имеет место неравенство

|x_n| < c

    Последовательность, не являющаяся ограниченной сверху (снизу), называется неограниченной сверху (снизу), а последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченой. Примером неограниченных последовательностей являются бесконечно большие последовательности (см. п. 5.1, определение 3). Следует заметить, однако, что не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Так, последовательность

x_n = (-1)ⁿn + n

неограниченная, но не бесконечно большая.

    Теорема. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Пусть последовательность x_n  R, n = 1, 2, ..., имеет конечный предел = a R. Тогда согласно определению предела последовательности (см. п. 5.1, определение 1), взяв = 1, получим, что существует такой номер n₁, что для всех номеров n > n₁ будет выполняться неравентсво

(в определении предела последовательности можно взять любое > 0; мы взяли = 1; рис. 51). Обозначим через d наибольшее из чисел 1, |x₁ - a|, ..., . Тогда, очевидно, в силу условия (5.29) для всех
n N будет иметь место неравенство

|x_n - a| < d,

Это и означает, что последовательность {x_n} ограничена. 

Переход к пределу в неравенствах  Оглавление  Бесконечно малые последовательности