5.5. Бесконечно малые последовательности

    Над числовыми последовательностями можно производить арифметические операции. Определим их.
    Определение 6. Пусть {x_n} и {y_n} - числовые последовательности. Тогда числовая последовательность {x_n + y_n} называется их суммой {x_n} + { y_n}, {x_n - y_n} - их разностью {x_n} - { y_n}, {x_n y_n} - их произведением {x_n}{ y_n}, а если для всех номеров n выполняется неравенство y_n 0, то последовательность называется частным данных последовательностей. Если  - действительное число, то произведением {x_n} числовой последовательности {x_n} на число называется последовательность {x_n}. Таким образом, получается тот же результат, что и от умножения стационарной последовательности {} на последовательность {x_n}:

{x_n} = {x_n} = {}{x_n}

    Определение 1. Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой.
    Рассмотрим свойства бесконечно малых.
    1^o.  Любая конечная линейная комбинация бесконечно малых является бесконечно малой.
Пусть числовые последовательности {_n} и {_n} бесконечно малые, т. е.

а и  - какие-либо действительные числа. Покажем, что последовательность {_n + _n} также бесконечно малая. Зададим произвольно > 0 и возьмем какое-либо число c такое, что

Тогда, согласно определению предела, из (5.30) следует, что существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ выполняются неравенства

и, следовательно, неравенство

|n + n| < |||n| + |||n|	<	(|| + ||)/c	<
	(5.32)		(5.31)

Это и означает, что

(_n + _n) = 0,

т. е. что последовательность {_n + _n}   бесконечно малая. Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации бесконечно малых следует из доказанного методом математической индукции. 
    2^o. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой.
    Пусть

и {x_n} - ограниченная последовательность, т. е. существует такое c > 0, что для всех номеров n₀ выполняется неравенство

Зафиксируем произвольное > 0, тогда согласно определению предела из условия (5.33) следует, что существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ имеет место неравенство

a следовательно, и неравенство

|nxn| = |n||xn|	<
	(5.34) (5.35)

Это и означает, что _nx_n =  0, т. е. что последовательность {_nx_n} бесконечно малая. 

    Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой.
Если _n = _n = 0, то последовательность {_n}, имея конечный предел, является ограниченной последовательностью. Поэтому произведение {_nn} бесконечно малых последовательностей {_n} и {_n} можно рассматривать как произведение бесконечно малой на ограниченную последовательность, и, следовательно, согласно свойству 2^o это произведение является бесконечно малой последовательностью. Соответствующее утверждение для любого конечного числа бесконечно малых последовательностей получается из данного методом математической индукции. 

Ограниченность сходящихся последовательностей  Оглавление  Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями