5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями

    Бесконечно малые последовательности играют в теории пределов особую роль, так как понятие конечного предела последовательности можно в определенном смысле свести к понятию бесконечно малой. Сформулируем это утверждение в виде леммы.

    Лемма 1. Числовая последовательность {xn} имеет конечный предел, равный числу a, тогда и только тогда, когда последовательность

alphan = xn - a, n  = 1, 2, ...,

является бесконечно малой:

alphan = 0.

(5.36)

Пусть заданы числовая последовательность {xn} и число a. Если alphan = xn - a, то условие = a согласно определению предела последовательности равносильно тому, что для любого эпсилон > 0 существует такой номер
, что для всех номеров n > выполняется неравенство |xn - a| < эпсилон, т. е. неравенство alphan < эпсилон, а это равносильно тому, что alphan = 0, т. е. тому, что последовательность {alphan} бесконечно малая. начало
    Утверждение леммы можно перефразировать следующим образом: число a является пределом последовательности {xn} тогда и только тогда, когда xn = a + alphan, где {alphan} - бесконечно малая последовательность.
    Рассмотрим свойства пределов числовых последовательностей.

     1o. Если последовательность {xn} сходится, то сходится и последовательность {|xn|}, причем, если = a, то

|xn| = |a|.

(5.37)

Если = a, то для любого эпсилон > 0 существует такой номер , что для всех номеров n > выполняется неравенство |xn - a| < эпсилон, а поскольку ||xn| - |a|| < |xn - a|, то выполняется и неравенство

||xn| - |a|| < эпсилон

а это и означает выполнение равенства (5.37). начало

    2o. Конечная линейная комбинация сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью, и ее предел равен такой же линейной комбинации пределов данных последовательностей.
Пусть

xn = a принадлежит R, yn = b принадлежит R.

(5.38)

Тогда в силу необходимости условий (5.36) для существования соответствующих конечных пределов члены последовательностей {xn} и {yn} можно представить в виде

xn = a + alphan,   yn = b + betan,     n = 1, 2, ...,

(5.39)

где {alphan} и {betan} бесконечно малые:

alphan = betan = 0.

(5.40)

Пусть теперь lamda и mu - какие-либо числа. Тогда члены последовательности {lamdaxnmuyn} представимы в виде

lamdaxnmuyn

= lamdaamub lamdaalphanmubetan,     n = 1, 2, ...,

(5.41)

(5.39)

где последовательность { lamdaalphanmubetan} в силу бесконечной малости последовательностей {alphan} и {betan} также бесконечная малая (см. свойство 1o бесконечно малых последовательностей в п. 5.5):

(lamdaalphanmubetan)

=

0.

(5.42)

(5.40)

Поэтому в силу достаточности условий (5.36) для существования соответствующего конечного предела из равенств (5.41) следует, что последовательность {lamdaxnmuyn} имеет предел, равный lamdaamub:

(lamdaxnmuyn) = lamdaamub,

или (см. (5.38))

(lamdaxnmuyn) = lamdaxnmuyn.

(5.43)

Соответствующее утверждение для любой конечной линейной комбинации сходящихся последовательностей получается из доказанного методом математической индукции. начало

    3o. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, то их произведение {xnyn} также сходится:

xnyn = xnyn,

(5.44)

т. е. предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению пределов данных последовательностей.
Пусть = a принадлежит R, yn = b принадлежит R; тогда xn = a + alphanyn = b + betan, n = 1, 2, ..., где alphan = betan = 0. поэтому

xn yn = (a + alphan)(b + betan) = ab + (balphan + abetanalphanbetan),

(5.45)

причем последовательность {balphan + abetan} бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых последовательностей {alphan} и {betan}, а последовательность {alphanbetan} бесконечно малая как произведение тех же последовательностей, поэтому бесконечно малой является и их сумма {balphan + abetan +   alphanbetan}:

(balphan + abetanalphanbetan) = 0.

(5.46)

Из равенств (5.45) и (5.46) следует, что

xn yn = ab = xnyn.  начало

    Следствие. Если последовательность {xn} сходящаяся и m - натуральное число, то

  = ()m.

    Это непосредственно следует из свойства 3o, так как возведение числа в целую положительную степень m сводится к повторному умножению на это число m раз.

    4o. Если последовательности {xn} и {yn} сходятся, для всех номеров n имеет место неравенство yn не равно 0 и yn не равно 0, то последовательность сходится, причем

т. е. при сделанных предположениях предел частного сходящихся последовательностей существует и равен частному от пределов данных последовательностей.
Пусть = a принадлежит R, yn = b принадлежит R,  b не равно 0,  yn не равно 0, n = 1, 2, ...
Тогда xn = a + alphan,   yn = b + betan, alphan = betan = 0. Из условия yn = b согласно свойству 1o следует, что  |yn| = |b|. Поскольку |b| > 0 (ибо b не равно 0) и 0 < |b|/2 < |b|, то согласно следствию 1 из свойства 3o пределов последовательностей (п. 5.3) существует такой номер n0, что для всех n > n0 выполняется неравенство |yn| > |b|/2 и, следовательно, неравенство

1/|yn| < 2/|b|

(5.47)

(поскольку все  yn не равно 0, то на  yn можно делить). Теперь имеем

(5.48)

Здесь последовательность

ограничена, ибо для всех n > n0 выполняется неравенство

<
(5.47)

а последовательность {balphan - abetan} бесконечно малая как линейная комбинация бесконечно малых последовательностей {alphan} и {betan}. Поэтому бесконечно малой является и последовательность

как произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую. Следовательно, из равенства (5.48) вытекает, что

начало


Бесконечно малые последовательности   Оглавление    Монотонные последовательности