5.9. Критерий Коши

    В этом пункте дается критерий сходимости последовательности, т. е. критерий существования у нее конечного предела, в терминах только самих членов данной последовательности, иначе говоря, без привлечения значения самого предела.
(Термин "критерий" здесь употреблен в смысле "необходимое и достаточное условие".)

    Определение 11. Числовая последовательность {x_n}, n = 1, 2, ..., называется фундаментальной последовательностью, если она удовлетворяет следующему условию: для любого > 0 существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и m > n₀ выполняется неравенство

    Это условие называется условием Коши. Его можно записать в несколько другом виде: для любого > 0 существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и всех целых p > 0 выполняется неравенство

    Чтобы убедиться в равносильности этих утверждений, достаточно заметить, что из двух номеров m и n всегда один не превышает другого, например, m > n, и тогда, положив p = m - n, мы перейдем от записи (5.73) к записи (5.72).
    Докажем несколько лемм о фундаментальных последовательностях.

    Лемма 2. Если последовательность имеет конечный предел, то она фундаментальная.
Действительно, если последовательность {x_n} сходящаяся и a - ее предел: = a, то согласно определению предела для любого > 0 существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ выполняется неравенство

Поэтому если m > n₀ и n > n₀, то

|xn - xm| = |(xn - a) + (a - xm)| < |xn - a| + |xm - a|	<	/2 + /2 = .
	(5.74)

    Лемма 3. Если последовательность фундаментальная, то она ограниченная.
Действительно, пусть последовательность {x_n} фундаментальная. Тогда согласно условию Коши существует такой номер n₀, что для всех m > n₀ и n > n₀ имеет место неравенство

(в условии Коши (см. определение 11) можно взять любое > 0; мы взяли здесь = 1). В частности, при m > n₀ + 1 из (5.75) следует, что |x_n - | < 1 , или

 - 1 < x_n < + 1,  n = n₀ + 1, n₀ + 2, ...,

т. е. последовательность , ..., получающаяся из данной последовательности {x_n} отбрасыванием первых ее n₀ членов x₁, x₂, ...,, является ограниченной последовательностью. Поэтому ограничена, очевидно, и вся последовательность {x_n}. 
    Лемма 4. Если некоторая подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то ее предел является и пределом всей последовательности.
Пусть {x_n} - фундаментальная последовательность, {} - ее сходящаяся подпоследовательность и

Зададим произвольно > 0. Согласно условию Коши существует такой номер n₀, что для всех n, m > n₀  выполнятся неравенство

Выберем теперь номер k₀ так, чтобы при всех k > k₀ имело место неравенство

(это возможно сделать в силу того, что n_k = +). Тогда при всех n > n₀ и k > k₀ справедливо неравенство

|xn - |	<	/2.
	(5.77) (5.78)

Перейдя здесь к пределу при k , в силу условия (5.76) получим, что для всех n > n₀ выполняется неравенство

|x_n - | < /2 < .

Это и означает, что x_n = a. 
    Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.
Действительно, необходимость выполнения условия Коши для сходящейся последовательности составляет содержание леммы 2.
    Если же последовательность удовлетворяет условию Коши, т. е. является фундаментальной, то согласно лемме 3 она ограничена, и, следовательно, в силу принципа компактности (см. теорему 4) из нее можно выделить подпоследовательность, имеющую конечный предел. Тогда из леммы 4 следует, что вся заданная последовательность сходится к тому же пределу. 
    Упражнение. Доказать, что не всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет рациональный предел.

Принцип компактности    Оглавление   Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями