5.10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями

    Пусть задано действительное число a > 0. В силу принципа Архимеда существует натуральное число n > a. В множестве чисел 1, 2, ..., n возьмем наименьшее среди тех, которые больше числа a, т. е. такое натуральное число n₀ , что

n₀ -1 < a < n₀.

Обозначим n₀ -1 через ₀, а отрезок [₀,₀+1] - через I₀. Тогда

a I₀ = [₀,₀+1],    a ₀+1

(поскольку в этом пункте концы отрезков будут обозначаться десятичными дробями, то в качестве разделительного знака между концами отрезков удобнее употреблять не запятую, а точку с запятой, т. е. вместо [a,b] писать [a;b]).

    Разобьем отрезок I₀ на равных отрезков и каждому отрезку слева направо припишем последовательно индексы 0, 1, 2, ...,9. Точка a либо принадлежит только одному из этих отрезков, обозначим его I₁ (рис. 53 и рис. 54), либо двум соседним, если она является их бщим концом (рис. 55). В последнем случае для однозначности выбора отрезков обозначим через I₁ тот из двух соседних отрезков, для которого точка a является левым концом (целесообразность такого выбора будет пояснена ниже). Итак, в обоих случаях точка a лежит на отрезке I₁ и не является его правым концом.
    Обозначим левый конец отрезка I₁ десятичной дробью ₀, ₁, где ₁ - индекс отрезка I₁ (одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9), тогда правый конец будет записываться числом ₀, ₁ + 10^-1. Таким образом,

a I₁ = [₀,₁;₀,₁+10^-1],    a ₀,₁+10^-1.

    Разобьем отрезок I₁ в свою очередь на десять равных отрезков и обозначим через
I₁ = [₀,₁,₂;₀,₁₂+10^-2] тот из них, который содержит точку a, причем она не является его правым концом. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных отрезков

содержащих точку a, причем она не является правым концом ни одного из них:

    Поскольку длина отрезка I_n равна 10^-n и 10^-n = 0, то точка a является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам I_n, n = 1, 2, ... Отрезок I_n будем называть отрезком ранга n.
    Таким образом, каждому действительному числу a > 0 однозначным образом поставлена в соответствие последовательность вложенных отрезков {I_n}, длины которых стремятся к нулю. А именно, последовательность {I_n}, пересечение отрезков которой состоит из
числа a:

    При этом разным числам оказываются поставленными в соответствие разные последовательности вложенных отрезков {I_n}, так как в силу стремления к нулю длин отрезков I_n пересечение рассматриваемой последовательности {I_n} состоит из единственной точки a и, следовательно, разные точки числовой прямой принадлежат разным последовательностям {I_n}, т. е. на некотором n-м шаге они окажутся в разных отрезках ранга n.
    Каждая последовательность {I_n}, очевидно, полностью описывается последовательностью своих левых концов ₀,₁..._n (правый конец получается добавлением числа 10^-n к левому концу), n = 1, 2, ..., а следовательно, и бесконечной десятичной дробью ₀,₁..._n ... , так как левый конец каждого отрезка I_n получается из этой бесконечной десятичной дроби отбрасыванием всех ее цифр после запятой, начиная с (n + 1)-й.
    В результате каждому действительному числу a > 0 оказывается поставленной в соответствие указанным образом бесконечная десятичная дробь ₀,₁..._n ...  Если числу a соответствует дробь ₀,₁..._n ... , то пишут

Подчеркнем, что в этой записи через ₀ обозначается соответствующее неотрицательное целое число, а через _n, n = 1, 2, ..., - одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9.
    Получающиеся в результате описанной конструкции бесконечные десятичные дроби (5.82) не могут иметь периода, состоящего только из цифры 9. В самом деле, пусть некоторому действительному числу соответствует дробь

имеющая период, состоящий из цифры 9 и начинающийся с (n₀ +1)-го места после запятой. Обозначим через {I_n} последовательность отрезков, соответствующих дроби (5.83) в том смысле, что левым концом отрезка I_n, n = 1, 2, ..., этой последовательности является число ₀,₁..._n, получающееся из дроби (5.83) отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с (n +1)-го, а правым - число
₀,₁..._n+10^-n. Такая последовательность отрезков является вложенной системой отрезков, длины которых стремятся к нулю, и, следовательно, существует единственное число a, принадлежащее всем отрезкам I_n этой системы. Поскольку в дроби (5.83), начиная с (n₀ +1)-го места после запятой, стоит цифра 9, то точка a, начиная с отрезков ранга n₀ +1, будет находиться на отрезке с индексом 9, т. е. на самом правом отрезке. Этим свойством обладает только правый конец отрезка , таким образом, число a совпадает с правым концом отрезка .
    При описанной же конструкции соответствия чисел a > 0 и бесконечных десятичных дробей (см. (5.72)-(5.82)) всегда предполагалось, что число a не является правым концом ни одного из отрезков соответствующей ему системы вложенных отрезков {I_n} (см. (5.79)) - в этом состояло одно из условий (5.80). Полученное противоречие показывает, что при указанной конструкции соответствия чисел a > 0 и бесконечных десятичных дробей не участвуют дроби вида (5.83), т. е. с периодом, состоящим из одной лишь цифры 9.
    Вместе с тем каждая бесконечная десятичная дробь

не имеющая периода, состоящего только из одной цифры 9, оказывается поставленной в соответствие единственному числу a > 0, являющемуся точкой пересечения отрезков

    В самом деле, последовательность отрезков (5.85) является вложенной системой отрезков, длины которых 10^-n стремятся к нулю, а потому существует единственное число a, принадлежащее всем отрезкам a I_n, n = 1, 2, ...
Покажем, что дробь (5.84) поставлена в соответствие этому числу a, т. е. что выполнены условия (5.79)-(5.81). Очевидно, следует лишь показать, что число a не является правым концом ни одного из отрезков I_n. Если бы оказалось, что число a является правым концом некоторого отрезка ранга n₀ системы {I_n}, то число a было бы и правым концом всех отрезков I_n ранга n > n₀, т. е. принадлежало бы отрезкам ранга n > n₀ с индексом 9. Это означает, что в дроби (5.84), начиная с (n₀  +1)-го места после запятой, все время стоит цифра 9 - противоречие. Итак, действительно, каждая бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода, состоящего из одной цифры 9, поставлена в соответствие некоторому числу a > 0.
    В результате установлено взаимно однозначное соответствие
между всеми неотрицательными действительными числами и всеми бесконечными десятичными дробями, не имеющими периода, состоящего только из цифры 9.
    Бесконечные десятичные дроби с периодом, состоящим только из нуля, обычно записываются в виде конечной десятичной дроби, т. е. вместо ₀,₁..._n00...0... пишут ₀,₁..._n. Подчеркнем, что при конструкции соответствия (5.79)-(5.82) между неотрицательными действительными числами и десятичными дробями это соответствие оказалось взаимно однозначным в силу того, что рассматривались лишь десятичные дроби, не имеющие периода, состоящего только из цифры 9, и требовалось, чтобы никакое a не являлось правым концом ни одного отрезка I_n соответствующей этому числу a системы {I_n}. При отказе от выполнения этих условий для каждого числа, являющегося концом некоторого отрезка ранга n, существовали бы две его записи в виде бесконечной десятичной дроби:

₀,₁..._n99...9... = ₀,₁...(_n+1)00...0...,    _n 9,

например,

1 = 1,00...0 = 0,99...9...

    Если a > 0 и a соответствует дробь ₀,₁..._n ... , то отрицательному числу -a поставим в соответствие ту же дробь, только со знаком минус, и будем писать

     Запись действительных чисел в виде (5.82) и (5.86) называется их десятичной записью.
    Бесконечные десятичные дроби +₀,₁..._n..., не имеющие периода, состоящего только из одних девяток, называются допустимыми.
    Из всего сказанного видно, что десятичная запись действительных чисел устанавливает между всеми действительными числами и всеми допустимыми десятичными дробями взаимно однозначное соответствие. Конечно, нужно не только уметь записывать каждое действительное число в виде десятичной дроби, но и уметь производить с помощью этой записи различные операции над числами: сравнивать их по величине, складывать, вычитать, умножать, делить и т.д. Перейдем к рассмотрению этих вопросов.
    Пусть снова a > 0 и a = ₀,₁...... Введем обозначения

Если же a > 0 и -a = -₀,₁..._n..., то положим

Из этих формул сразу следует, что если b < 0 и b = -a, a > 0, то (рис. 56)

    Конечная десятичная дробь _n (как в случае (5.87), так и в случае (5.88)) называется нижним десятичным приближением порядка n числа a, а дробь _n - его верхним десятичным приближением того же порядка. Очевидно, что в случае a > 0 конечные десятичные дроби _n и _n являются концами отрезка I_n (см. (5.80)) последовательности вложенных отрезков {I_n}, поставленной в соответствие числу  a = ₀,₁..._n..., т. е.

и, таким образом,

    В силу соотношений (5.89) система отрезков (5.90) является системой вложенных отрезков и при a < 0; выполняется в этом случае и неравенство (5.91). Из того, что система отрезков (5.90) является системой вложенных отрезков, следует, что

т. е. что последовательность нижних десятичных приближений представляет собой возрастающую последовательность, а верхних - убывающую.
    Наконец, из (5.87) и (5.88) непосредственно следует, что

а так как 10^-n = 0, то для любого действительного числа a последовательность отрезков (5.90) образует систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю и единственной точкой пересечения которых является точка a. Отсюда имеем (см. замечание в п. 5.7)

    Таким образом, доказано следующее свойство десятичных приближений.
    1^o. Каково бы ни было действительное число a, последовательность его нижних десятичных приближений {_n} возрастает, верхних {_n} убывает, и имеет место равенство (5.94).
    Следствие. Всякое действительное число является пределом последовательности рациональных чисел.
В самом деле, нижние и верхние десятичные приближения любого числа, представляя собой конечные десятичные дроби, являются рациональными числами, поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает из равенства (5.94).
    Перейдем теперь к сравнению по величине действительных чисел посредством их десятичной записи.
    2^o. Если a R, b R то a < b в том и только том случае, когда существует такое неотрицательное целое число n₀ что для всех n > n₀ выполняется неравенство

Если a < b, то из условия (5.94) согласно свойству 3^o пределов (п. 5.3) сразу следует существование такого n₀, что для n > n₀ выполняется условие (5.95). Обратно, если существует такое n₀, что для всех n > n₀ выполняется неравенство (5.95), то, перейдя в нем к пределу при n , получим a < b, но случай a = b невозможен, так как тогда в силу однозначности десятичной записи чисел для всех n = 0, 1, 2, ... имело бы место равенство _n = _n, что противоречило бы условию (5.95).
    Следовательно, a < b. 
    С помощью арифметических операций над нижними и верхними десятичными приближениями чисел можно получить нужный результат соответствующих операций над самими числами с любой наперед заданной точностью. Это видно из следующего утверждения.
    3^o. Если a R, b R, то

(_n + _n) = a + b,
(_n - _n) = a - b,
_nn = ab,

а при b 0

Эти формулы сразу следуют из равенств (5.94) и свойств пределов числовых последовательностей (п. 5.6).
Отметим лишь, что из условия _n = b 0 следует существование такого номера n₀, что для всех n > n₀ выполняется неравенство _n 0 (см. следствие 1 свойства 3^o пределов, п. 5.3) и при рассмотрении предела  _n/_n берутся только дроби _n/_n, для которых _n 0, что заведомо имеет место при n > n₀. 

Критерий Коши      Оглавление   Предел последовательности комплексных чисел