5.11. Предел последовательности комплексных чисел

    Многие из понятий, введенных для последовательностей действительных чисел, обобщаются на последовательности комплексных чисел, причем с сохранением ряда свойств.
    Комплексное число  называется пределом последовательности комплексных чисел {z_n}, если для любого
> 0 существует такой номер , что для всех n > выполняется неравенство

|z_n - z₀| < .

В этом случае пишут z_n = z₀ и говорят, что последовательность {z_n} сходится к числу z₀.
    Таким образом, по форме это определение совершенно такое же, как для предела последовательности действительных чисел, однако геометрический смысл его иной: на комплексной плоскости неравенство
|z_n - z₀| < задает открытый круг (т. е. круг без ограничивающей его окружности) радиуса с центром в точке z₀. Этот круг называется -окрестностью (или, короче, окрестностью) точки z₀; будем его обозначать
U = U(z₀,).
Условие z_n = z₀ означает, что, какова бы ни была окрестность U точки z₀, найдется такой номер n₀, что все члены последовательности {z_n} с номерами, большими n₀, будут содержаться в этой окрестности (рис. 57). Тем самым вне этой окрестности будет находиться только конечное множество членов рассматриваемой последовательности.
    Существование предела z_n = z₀ в силу самого определения предела равносильно существованию предела

т. е. сходимости к нулю последовательности действительных чисел |z_n - z₀|, n = 1, 2, ... 
    Если z_n = x_n + y_ni, z₀ = x₀ + y₀i, x_n,  y_n, x₀,  y₀ R то

и, следовательно,

Из соотношений (5.97), (5.98) следует, что условие |z_n - z₀| = 0 равносильно условиям
x_n = x₀, y_n = y₀. Это означает, что последовательность комплексных чисел z_n = x_n + y_ni, n = 1, 2, ..., имеет своим пределом число z₀ = x₀ + y₀i в том и только том случае, когда последовательности действительных {x_n} и мнимых {y_n} частей членов последовательности {z_n} имеют своими пределами соответственно x₀ и y₀.
    Последовательность {z_n} комплексных чисел называется ограниченной, если ограничена последовательность действительных чисел {|z_n|} (т. е. если ограничена последовательность абсолютных величин членов данной последовательности). На последовательности комплексных чисел обобщаются многие предложения, доказанные для последовательностей действительных чисел. Так, если последовательность комплексных чисел имеет предел, то он единствен; всякая последовательность комплексных чисел, имеющая предел, ограничена; из всякой ограниченной последовательности комплексных чисел можно выделить сходящуюся; для последовательностей комплексных чисел имеет место аналог критерия Коши сходимости последовательностей действительных чисел; переносятся на последовательности комплексных чисел и свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Все это следует, например, из того, что сходимость последовательности комплексных чисел равносильна сходимости последовательностей их действительных и мнимых частей.
     Аналогично случаю последовательностей действительных чисел для последовательностей комплексных чисел определяется и бесконечный предел (без знака, так как комплексные числа не имеют знака): z_n = означает по определению, что |z_n| = +.
    Замечание. Обычно, когда говорят, что некоторая последовательность комплексных (в частности, действительных) чисел имеет предел, то под этим подразумевают, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривается особо.

Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями   Оглавление  Первое определение предела функции