Введем обозначения: для любого
числового множества X и любой точки x0
расширенной числовой прямой положим
X+(x0){x
X: x > x0},
X_(x0)
{x
X: x < x0},
Если x0 X,
то x0
X+,
x0
X_,
а если x0
X,
то x0
X+,
x0
X_.
Очевидно, если x0 = +
, то X+(x0) =
, а если x0 = -
, то X_(x0) =
.
В случае когда множество X+(x0)
(соответственно множество X_(x0))
непусто, условие, что x0 является его
точкой прикосновения, равносильно тому, что x0 = inf X+(x0)
(соответственно x0 = sup X_(x0)).
Определение 7. Пусть задана
функция f(x), x X и x0
.
Точка a называется пределом функции f
слева при x
x0
(соответственно справа), если она является
пределом при x
x0
функции f по множеству X_(x0)
(соответственно по множеству X+(x0)),
т. е. если
f(x) =
a (соответственно
f(x) = a).
В силу этого определения предел f(x) причисляется к пределам
слева, а
f(x) - к
пределам справа. Иначе говоря, предел функции f
слева в точке x0 - это предел в этой
точке сужения функции f на множество X+(x0),
а предел справа - это предел сужения f
на множество X_(x0).
Для пределов справа и слева сужения
функции f на множество X \{x0},
т. е. для случая, когда предел берется по
множеству, не содержащему точку x0,
имеются специальные обозначения: для предела
слева f(x0 - 0) и f(x), а для
предела справа f(x0 + 0) и
f(x). При этом в
случае x0 = 0 вместо 0 + 0 и
0 - 0 пишут +0 и -0, а в случае x0 = +
(соответственно x0 =
-
) вместо +
- 0 (-
+ 0) пишут просто +
(соответственно -
).
Если множества X_(x0) \ {x0},
X+(x0) \ {x0} не
пусты, x0 является их точкой
прикосновения и существует предел f(x) по множеству X,
то он называется также двусторонним пределом.
Пример1. Для функции y = sign x (см.
рис. 59) имеем
sign x = 1,
sign x =
-1.
Теорема 2. Если функция f
(x) задана на множестве X, x0 = sup X_(x0) = inf X+(x0),
X_(x0), X+(x0)
,
то для того, чтобы у функции f
существовал предел
f(x) необходимо и
достаточно, чтобы в точке x0
существовали пределы слева и справа и они были
равны (общее значение этих пределов является
двусторонним пределом функции f в
точке x0).
Если у функции f
существует предел в точке x0, то тот же
предел существует у этой функции при x
x0 и по любому
подмножеству E
X,
для которого точка x0 является его
точкой прикосновения, в частности по множествам X_(x0)
и X+(x0). Обратно, если у функции
f существуют равные пределы по
множествам X_(x0) и X+(x0),
то по лемме 3 у нее
существует тот же предел и по их объединению,
т. е. по множеству
X = X_(x0) X+(x0) .
Определение 8. Функция f(x), x
X, называется непрерывной
слева (справа) в точке x0
X, если
f(x) =
f(x0) (соответственно
f(x) = f(x0)).
|
Из теоремы 2 следует, что если
функция f непрерывна слева и справа в
точке x0, то она непрерывна в этой точке
(напомним, что непрерывность функции f в точке
x0 означает, что в x0 существует
предел функции f по множеству, содержащему
эту точку: f(x)
= f(x0), т. е. в данном случае x0
X+(x0)
и x0
X_(x0)
и, следовательно, x0
X.
Пример 2. Символом [x] обозначается
целая часть числа x R, т.
е. наибольшее целое число, не превосходящее x
(рис. 62). Таким образом, [x] = n
Z,
n < x но n + 1 > x
. Функция y = [x] непрерывна справа во
всех точках числовой оси и не является
непрерывной слева во всех целочисленных точках
x = +n, n = 0, 1, 2, ...
Предел функции по объединению множеств Оглавление Свойства пределов функций