6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность

    Введем обозначения: для любого числового множества X и любой точки x0 расширенной числовой прямой est_r.gif (79 bytes) положим

X+(x0)определение{x принадлежит X:   x > x0},    X_(x0)определение{x принадлежит X:   x < x0},

Если x0 принадлежит X, то x0 принадлежит X+,   x0 принадлежит X_, а если x0 не включает X, то x0 не включает X+,   x0 не включает X_. Очевидно, если x0 = +бесконечность, то X+(x0) = пустое, а если x0 = -бесконечность, то X_(x0) = пустое.
    В случае когда множество X+(x0) (соответственно множество X_(x0)) непусто, условие, что x0 является его точкой прикосновения, равносильно тому, что x0 = inf  X+(x0) (соответственно x0 = sup  X_(x0)).

    Определение 7. Пусть задана функция  f(x), x принадлежит X и x0 принадлежит est_r.gif (79 bytes). Точка a называется пределом функции  f слева при xx0 (соответственно справа), если она является пределом при xx0 функции  f по множеству X_(x0) (соответственно по множеству X+(x0)), т. е. если

f(x) = a    (соответственно f(x) = a).

В силу этого определения предел f(x) причисляется к пределам слева, а f(x) - к пределам справа. Иначе говоря, предел функции  f слева в точке x0 - это предел в этой точке сужения функции  f на множество X+(x0), а предел справа - это предел сужения  f на множество X_(x0).
    Для пределов справа и слева сужения функции  f на множество X \{x0}, т. е. для случая, когда предел берется по множеству, не содержащему точку x0, имеются специальные обозначения: для предела слева  f(x0 - 0) и f(x), а для предела справа f(x0 + 0) и f(x). При этом в случае x0 = 0 вместо 0 + 0 и 0 - 0 пишут +0 и -0, а в случае x0 = +бесконечность (соответственно x0 = -бесконечность) вместо +бесконечность - 0 (-бесконечность + 0) пишут просто +бесконечность (соответственно -бесконечность).
    Если множества  X_(x0) \ {x0}, X+(x0) \ {x0} не пусты, x0 является их точкой прикосновения и существует предел lim3.gif (127 bytes)f(x) по множеству X, то он называется также двусторонним пределом.
    Пример1. Для функции y = sign x (см. рис. 59) имеем

sign x = 1,      sign x = -1.

    Теорема 2. Если функция  f (x) задана на множестве X, x0 = sup  X_(x0) = inf  X+(x0), X_(x0)не равнопустое,  X+(x0)не равнопустое, то для того, чтобы у функции  f существовал предел lim3.gif (127 bytes)f(x) необходимо и достаточно, чтобы в точке x0 существовали пределы слева и справа и они были равны (общее значение этих пределов является двусторонним пределом функции  f в точке x0).
Если у функции  f существует предел в точке x0, то тот же предел существует у этой функции при xx0 и по любому подмножеству E включает X, для которого точка x0 является его точкой прикосновения, в частности по множествам X_(x0) и X+(x0). Обратно, если у функции  f существуют равные пределы по множествам X_(x0) и X+(x0), то по лемме 3 у нее существует тот же предел и по их объединению, т. е. по множеству
X = X_(x0) объединение X+(x0) . начало
    Определение 8. Функция  f(x), x принадлежит X, называется непрерывной слева (справа) в точке x0 принадлежит X, если

f(x) = f(x0)   (соответственно f(x) = f(x0)).

Рис. 62
Рис. 62

    Из теоремы 2 следует, что если функция  f непрерывна слева и справа в точке x0, то она непрерывна в этой точке (напомним, что непрерывность функции f в точке x0 означает, что в x0 существует предел функции f по множеству, содержащему эту точку: lim3.gif (127 bytes)f(x) = f(x0), т. е. в данном случае x0 принадлежит X+(x0) и x0 принадлежит X_(x0) и, следовательно, x0 принадлежит X.
    Пример 2. Символом [x] обозначается целая часть числа x принадлежит R, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x (рис. 62). Таким образом, [x] = n принадлежит Z, n < x но n + 1 > x . Функция y = [x] непрерывна справа во всех точках числовой оси и не является непрерывной слева во всех целочисленных точках x = +n, n = 0, 1, 2, ...

Предел функции по объединению множеств   Оглавление     Свойства пределов функций