6.7. Свойства пределов функций

    В пп. 6.7-6.12 все рассматриваемые функции определены на некотором фиксированном множестве X R и x₀ - его точка прикосновения, конечная или бесконечно удаленная.
    Функция называется ограниченной (сверху или снизу), если множество ее значений ограничено (соответственно сверху или снизу).
    1^o. Если функция f имеет в точке x₀ конечный предел, то существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что функция f ограничена на пересечении X U(x₀).
Если f(x) = a R, то существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x X U(x₀)   выполняется включение f(x) U(a,1) (здесь в качестве окрестности U(a) в определении 6 взята окрестность U(a,1)), т. е. неравенство a - 1 <  f(x) < a + 1. 
    Следствие. Если функция f непрерывна в точке x₀, то существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что функция f ограничена на

X U(x₀).

    Это следует из того, что если функция f непрерывна в точке x₀, то она имеет в этой точке конечный предел.
    2^o. (лемма о сохранении знака). Если функция f имеет в точке x₀ не равный нулю конечный предел
f(x) = a 0, то существуют такие окрестность U(x₀) точки x₀ и число c > 0, что для всех точек
x X U(x₀) выполняются неравенства

f(x) > c,    если    a > 0;
f(x) > -c,    если    a < 0.

Поскольку a  0, то |a|/2 > 0. Возьмем в качестве окрестности U(a) в определении 6 окрестность U(a, |a|/2) . Тогда согласно этому определению существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех точек 
x X U(x₀) выполняется включение f(x) U(a, |a|/2), т. е. справедливо неравенство

a - |a|/2 <  f(x) < a + |a|/2.

Отсюда имеем при a > 0

f(x) > a - |a|/2 = a/2 > 0,

а при a < 0

f(x) < a + |a|/2 = -|a| + |a|/2 = -|a|/2 < 0,

    Таким образом, неравенства (6.16) выполняются при c = |a|/2. 
    Следствие. Если функция f непрерывна в точке x₀ и f(x₀) 0,
то существуют такие окрестность U(x₀) точки x₀ и постоянная c > 0, что для всех x X U(x₀) выполняются неравенства:

f(x) > c,    если    f(x₀) > 0;
f(x) > -c,   если    f(x₀) < 0.

    Это сразу вытекает из свойства 2^o, поскольку непрерывность в точке x₀ означает существование у функции f в точке x₀ конечного предела, равного f(x₀). В качестве c можно взять | f(x₀)|/2.
    Замечание. Если у функции f в точке x₀ существует один из бесконечных пределов , + и -, то для любого числа c > 0 существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для любой точки x X U(x₀) выполняются неравенства:

|f(x)| > c,   если    f(x) = ;
f(x) > c,    если   f(x) = +;
f(x) > -c,   если   f(x) = -.

    Это следует из определения 5 предела функции, в котором в качестве окрестности U(a) бесконечно удаленной точки в этом случае следует взять окрестность U(a,1/c).
    3^o. Если f(x) = c - постоянная, x X, то f(x) =  c. Это означает, в частности, что постоянная функция является непрерывной.
    4^o. Если  f(x) > a, x X и существует конечный или определенного знака бесконечный предел f(x), то f(x) > a.
    5^o. Если (x) <  f(x) < (x), x X и существуют конечные или определенного знака бесконечные пределы (x), (x) и они равны между собой, то существует f(x) и

f(x) = (x) = (x).

    6^o. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), то существуют и конечные пределы

[ f(x) + g(x)] = f(x) + g(x),  R, R,	(6.17)
f(x)g(x) = f(x)g(x),	(6.18)

а если g(x) 0, то и

(6.19)

    В последнем случае функция рассматривается только для тех x, для которых g(x) 0 (см. свойство 2^o).
Утверждения 3^o-6^o следуют из соответствующих утверждений для пределов последовательностей (см. пп. 5.3, 5.6) Докажем, например, формулу (6.18). Пусть f(x) = a R, g(x) = b R. Возьмем какую-либо последовательность x_n X, n = 1, 2, ..., имеющую своим пределом x₀. Тогда согласно определению 1 f(x_n) = a, g(x_n) = b, поэтому в силу свойства пределов последовательностей (свойство 3^o в п. 5.6)

f(x_n)g(x_n) = f(x_n)g(x_n) = ab,

и поскольку последовательность {x_n} является произвольной последовательностью такой, что x_nx₀ и x_n X, n = 1, 2, ..., то согласно тому же определению 1 предела функции получим

f(x)g(x) = ab = f(x)g(x).

    Следствие. Если функции f и g непрерывны в точке x₀ X,
то функции f(x) + g(x), R, R, f(x)g(x), а если g(x₀)0, то и , непрерывны в точке x₀.
    Докажем, например, непрерывность произведения f(x)g(x). Если функции f и g непрерывны в точке x₀, то в этой точке они имеют конечные пределы f(x₀) и g(x₀). Поэтому согласно формуле (6.18) получим

f(x)g(x) = f(x)g(x) = f(x₀)g(x₀)

Это и означает непрерывность произведения fg. 
    Отметим, что проведенное доказательство можно было бы и не проводить, так как непрерывность функции в точке означает, что (см. п. 6.2) эта точка принадлежит множеству задания функции и что у функции в этой точке существует предел по указанному множеству. Поскольку функции f и g заданы в точке x₀, то, очевидно, и функции f(x) + g(x), f(x)g(x), а при g(x₀)0 и , заданы в этой точке. В силу свойства 6^o у перечисленных функций существуют пределы в точке x₀, принадлежащей в данном случае их множеству задания, что и означает их непрерывность в точке x₀. Иначе говоря, утверждение следствия является просто частным случаем утверждения 6^o, когда точка, в которой рассматривается предел, принадлежит области определения функций.

Односторонние пределы и односторонняя непрерывность   Оглавление   Бесконечно малые