Определение 12. Пусть
функция f определена в некоторой
окрестности точки x0, кроме, быть может,
самой точки x0. Тогда x0
называется точкой разрыва функции f,
либо если функция f не определена в самой
точке x0, либо если она определена в
этой точке, но не является в ней непрерывной.
Образно говоря, точка x0
является точкой разрыва функции, если x0
является значением аргумента, при котором
происходит "разрыв графика функции".
Например, точка x = 0 является
точкой разрыва функции f(x) = 1/x,
так как эта функция не определена при x = 0.
Та же точка x = 0 является и точкой
разрыва функции
так как в этом случае, хотя функция f и
определена при x = 0, но она не
непрерывна при x = 0.
Если в точке разрыва
существуют конечные пределы f(x0 - 0)
и f(x0 + 0), то она
называется точкой разрыва первого рода, а
величина f(x0 - 0) - f(x0 + 0)
- скачком функции f в точке x0
(рис. 65).
 Рис. 65 |
 Рис. 66 |
Если скачок функции в
точке x0 равен нулю, то точка x0
называется точкой устранимого разрыва
(рис. 66).
Точка разрыва, не
являющаяся точкой разрыва первого рода,
называется точкой разрыва второго рода.
Примеры. 1. У функции
f(x) = sign x
(см. рис. 59) точка x0 = 0 является точкой разрыва первого рода, и скачок в ней равен 2:
sign (+0) - sign (-0) = 2.
Та же точка x0 = 0 является для функции f(x) = |sign x| (см. рис. 60) точкой устранимого разрыва:
|sign (+0)| - |sign (-0)| = 0.
2. Точка x0 = 0 для функций f(x) = 1/x и f(x) = sin (1/x) является точкой разрыва второго рода.
