Определение 13. Функцию f(x),
x X,
называют возрастающей (соответственно убывающей)
на множестве X и пишут f
(соответственно f
), если
для любых x1
X и x2
X таких, что x1 < x2,
выполняется неравенство f(x1) <
f(x2) (соответственно f(x1) >
f(x2)).
Возрастающие и убывающие функции
называются монотонными.
Если из неравенства x1 < x2,
x1 X,
x2
X,
следует, что f(x1) < f(x2)
(соответственно, что f(x1) >
f(x2)), то функцию f называют строго
возрастающей (строго убывающей) и пишут f
(соответственно f
). Строго возрастающие
и строго убывающие функции называются строго
монотонными. Если функция f (строго)
возрастает на множестве X, то функция -f
(строго) убывает на этом множестве.
Верхней гранью sup f
функции f(x), x X (или, в другой записи,
f(x)),
называется верхняя грань значений этой функции
на множестве ее задания X:
sup f
{ f(x)},
а нижней гранью inf f (или { f(x)}
) - нижняя грань ее значений:
inf f
{ f(x)}.
Если функция f принимает в точке x0 наибольшее значение на множестве X, то, очевидно, f(x0) = sup f, а если она принимает в точке x0 наименьшее значение, то f(x0) = inf f.
Теорема 4. Пусть функция
f(x), x
X, возрастает на множестве X,
= inf X,
= sup X,
X,
X.
Тогда у функции f существуют конечные
или определенного знака бесконечные пределы
справа в точке
x = :
|
(6.28) |
и слева в точке x = :
|
(6.29) |
Таким образом, если функция f
ограничена снизу (т. е. ограничено снизу
множество ее значений), то предел (6.28) будет
конечным, а если f не ограничена снизу, то этот
предел будет бесконечным, равным -. Аналогично, предел (6.29) будет
или клнечным или бесконечным, равным +
, когда функция f
ограничена сверху или соответственно не
ограничена сверху.
Пусть функция f возрастает на
множестве X и
b = |
(6.30) |
Зададим произвольно окрестность U(b)
точки b, и пусть -
левый конец этой окрестности (рис. 67); тогда
< b и
существует такое
X, что
f( |
(6.31) |
Из того, что =
sup X, следует, что
<
, но
, а по условиям теоремы
X, поэтому
<
.
Обозначим через U() окрестность точки
, левым концом которой является
точка
(см. рис. 67).
Тогда если
x |
(6.32) |
то < x <
и, следовательно, в
силу возрастания функции f будет
выполняться неравенство
f(x) < f(x) |
(6.33) |
Поэтому
|
< | f(x) < ![]() |
= |
b. | (6.34) |
(6.31) (6.32) |
(6.30) |
Вспоминая, что точка является левым концом окрестности
U(b), получим из (6.34)
f(x) |
(6.35) |
Аналогично рассматривается
случай предела функции f при x.
Следствие. Если функция f
возрастает на множестве X, x0 X, множества X_(x0),
X+(x0) не пусты и точка x0
является их точкой прикосновения, то функция f
имеет в этой точке конечные пределы f(x0 - 0)
и f(x0 + 0), причем
f(x0 - 0) < f(x0 + 0). |
(6.36) |
Напомним, что запись x0 x0 + 0 (соответственно
запись x0
x0
- 0) означает, что рассматривается предел справа
(слева) по множеству, не содержащему точки x0.
Если функция f
возрастает на множестве X, то для любых x'
X_(x0) и
x"
X+(x0)
выполняется неравенство
f(x') < f(x"). |
(6.37) |
Иначе говоря, возрастающая функция f ограничена числом f(x") сверху на множестве X_(x0) и числом f(x') снизу на множестве X+(x0). Поэтому согласно теореме 4 существуют конечные пределы f(x0 - 0) и f(x0 + 0). Перейдя к верхней грани в левой части неравенства (6.37), получим
f(x) <
f(x"),
а перейдя здесь в правой части к нижней грани, будем иметь
|
(6.38) |
Согласно теореме 4
f(x0 - 0) = f(x),
f(x0 + 0)
=
f(x"),
x
X.
Поэтому неравенство (6.38) совпадает с
неравенством (6.36).
Замечание1. Теорема, аналогичная
теореме 4, справедлива и для убывающих функций.
Замечание 2. Если функция f
возрастает на множестве X, = sup X и
X, то предел
функции f по всякому X (т. е. включая
) может существовать
(рис. 68), тогда функция f будет непрерывна в
точке x =
(см.
п. 6.2), а может и не существовать (рис. 69),
тогда точка
будет
точкой разрыва функции f. Подчеркнем,
однако, что согласно теореме 4 предел
всегда существует.
![]() Рис. 68 |
![]() Рис. 69 |
Классификация точек разрыва Оглавление Критерий Коши существования предела