6.12. Критерий Коши существования предела функции

    Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы функция f, x принадлежит X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон > 0 существовала такая окрестность U(x0) точки x0, что для любых x' принадлежит X объединение U(x0) и x" принадлежит X объединение U(x0)   выполнялось бы неравенство

| f(x") - f(x')| < эпсилон.

(6.39)

Докажем необходимость условия (6.39). Пусть f(x) = a принадлежит R, тогда для любого эпсилон > 0 существует такая окрестность U(x0) точки x0, что для каждого x принадлежит X объединение U(x0) справедливо неравенство

| f(x) -a| < эпсилон/2.

Поэтому если x' принадлежит X объединение U(x0) и x" принадлежит X объединение U(x0), то

| f(x") - f(x')| = |[f(x") - a] + [a - f(x')]| <
<
  |f(x") - a| + |a - f(x')| < эпсилон/2 + эпсилон/2 = эпсилон.

    Докажем достаточность условий (6.39) для существования конечного предела f(x). Пусть произвольно фиксировано эпсилон > 0; тогда существует такая окрестность U(x0), что для всех x' принадлежит X объединение U(x0) и всех
x" принадлежит X объединение U(x0) выполняется неравенство | f(x") - f(x')| < эпсилон. Возьмем какую-либо последовательность xnx0, xn принадлежит X, n = 1, 2, ... В силу определения предела последовательности существует такой номер n0, что для всех
n > n0 имеет место включение xn принадлежит U(x0), а поскольку xn принадлежит X, то и включение xn принадлежит X объединение U(x0). Тогда для всех номеров n > n0 и m > n0 будем иметь xn принадлежит X объединение U(x0), xm принадлежит X объединение U(x0), и, следовательно, будет выполняться неравенство | f(xn) - f(xm)| < эпсилон. Это означает, что последовательность { f(xn)} удовлетворяет критерию сходимости Коши для последовательностей и, следовательно, имеет конечный предел.
    Таким образом, для любой последовательности xnx0, xn принадлежит X, n = 1, 2, ..., последовательность { f(xn)} имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы 2 п. 6.4 сразу следует, что функция  f имеет в точке x0 конечный предел. начало

    Замечание. Сформулируем критерий Коши существования конечного предела функции в терминах неравенств для случая, когда x0 - действительное число: функция f, x принадлежит X, имеет в точке x0 принадлежит R конечный предел тогда и только тогда, когда для любого эпсилон > 0 существует такое delta.gif (61 bytes) > 0, что для всех точек
x' принадлежит X, x" принадлежит X, |x' - x0| < delta.gif (61 bytes), |x" - x0| < delta.gif (61 bytes), выполняется неравенство | f(x") - f(x')| < эпсилон.


Пределы монотонных функций  Оглавление  Предел и непрерывность композиции функций