X, имела в (конечной или
бесконечно удаленной) точке x0
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
для любого 
>
0 существовала такая окрестность U(x0)
точки x0, что для любых x' X 
U(x0) и x"
X U(x0)
выполнялось бы неравенство Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы
функция f, x X, имела в (конечной или
бесконечно удаленной) точке x0
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
для любого >
0 существовала такая окрестность U(x0)
точки x0, что для любых x' X U(x0) и x"
X U(x0)
выполнялось бы неравенство
| f(x") - f(x')|
< |
(6.39) |
Докажем необходимость
условия (6.39). Пусть 
f(x)
= a R, тогда для любого > 0 существует
такая окрестность U(x0) точки x0,
что для каждого x X U(x0) справедливо
неравенство
| f(x) -a| < /2.
Поэтому если x' X U(x0) и x"
X U(x0), то
| f(x") - f(x')|
= |[f(x") - a] + [a - f(x')]|
<
< |f(x") - a| + |a - f(x')|
< /2 + /2 = .
Докажем достаточность условий (6.39)
для существования конечного предела f(x). Пусть
произвольно фиксировано > 0; тогда существует такая
окрестность U(x0), что для всех x'
X U(x0) и
всех
x" X U(x0)
выполняется неравенство | f(x") - f(x')|
< . Возьмем
какую-либо последовательность xn
x0, xn X, n = 1,
2, ... В силу определения предела
последовательности существует такой номер n0,
что для всех
n > n0 имеет место включение xn
U(x0),
а поскольку xn X, то и включение xn
X U(x0).
Тогда для всех номеров n > n0 и m >
n0 будем иметь xn X U(x0), xm X U(x0), и,
следовательно, будет выполняться неравенство | f(xn) - f(xm)|
< . Это означает, что
последовательность { f(xn)}
удовлетворяет критерию сходимости Коши для
последовательностей и, следовательно, имеет
конечный предел.
Таким образом, для любой
последовательности xnx0,
xn X,
n = 1, 2, ..., последовательность { f(xn)}
имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы
2 п. 6.4 сразу следует, что функция f
имеет в точке x0 конечный предел. 
Замечание. Сформулируем критерий
Коши существования конечного предела функции в
терминах неравенств для случая, когда x0 -
действительное число: функция f, x X, имеет в
точке x0 R
конечный предел тогда и только тогда, когда
для любого > 0
существует такое 
> 0, что для всех точек
x' X, x"
X, |x' - x0|
< , |x" - x0|
< , выполняется
неравенство | f(x") - f(x')|
< .
Пределы монотонных функций Оглавление Предел и непрерывность композиции функций