Теорема 5 (критерий Коши). Для того чтобы
функция f, x X, имела в (конечной или
бесконечно удаленной) точке x0
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы
для любого
>
0 существовала такая окрестность U(x0)
точки x0, что для любых x'
X
U(x0) и x"
X
U(x0)
выполнялось бы неравенство
| f(x") - f(x')|
< |
(6.39) |
Докажем необходимость
условия (6.39). Пусть
f(x)
= a
R, тогда для любого
> 0 существует
такая окрестность U(x0) точки x0,
что для каждого x
X
U(x0) справедливо
неравенство
| f(x) -a| < /2.
Поэтому если x' X
U(x0) и x"
X
U(x0), то
| f(x") - f(x')|
= |[f(x") - a] + [a - f(x')]|
<
< |f(x") - a| + |a - f(x')|
< /2 +
/2 =
.
Докажем достаточность условий (6.39)
для существования конечного предела f(x). Пусть
произвольно фиксировано
> 0; тогда существует такая
окрестность U(x0), что для всех x'
X
U(x0) и
всех
x" X
U(x0)
выполняется неравенство | f(x") - f(x')|
<
. Возьмем
какую-либо последовательность xn
x0, xn
X, n = 1,
2, ... В силу определения предела
последовательности существует такой номер n0,
что для всех
n > n0 имеет место включение xn
U(x0),
а поскольку xn
X, то и включение xn
X
U(x0).
Тогда для всех номеров n > n0 и m >
n0 будем иметь xn
X
U(x0), xm
X
U(x0), и,
следовательно, будет выполняться неравенство | f(xn) - f(xm)|
<
. Это означает, что
последовательность { f(xn)}
удовлетворяет критерию сходимости Коши для
последовательностей и, следовательно, имеет
конечный предел.
Таким образом, для любой
последовательности xnx0,
xn
X,
n = 1, 2, ..., последовательность { f(xn)}
имеет конечный предел. Отсюда в силу леммы
2 п. 6.4 сразу следует, что функция f
имеет в точке x0 конечный предел.
Замечание. Сформулируем критерий
Коши существования конечного предела функции в
терминах неравенств для случая, когда x0 -
действительное число: функция f, x X, имеет в
точке x0
R
конечный предел тогда и только тогда, когда
для любого
> 0
существует такое
> 0, что для всех точек
x' X, x"
X, |x' - x0|
<
, |x" - x0|
<
, выполняется
неравенство | f(x") - f(x')|
<
.
Пределы монотонных функций Оглавление Предел и непрерывность композиции функций