6.13. Предел и непрерывность композиции функций

    Теорема 6. Пусть функция f задана на множестве X, функция  f - на множестве Y и  f(X) Y. Если существуют конечные или бесконечные пределы

f(x) = y0,	(6.40)
g(y) = z0,	(6.41)

то при x x₀ существует предел ( конечный или бесконечный) сложной функции g[ f(x)], причем

g[ f(x)] =g(y).

(6.42)

Пусть x_n x₀, x_n X, n = 1, 2, ...; тогда в силу (6.40) имеем

y_n f(x_n) y₀,   y_n Y,  n = 1, 2, ...

Поэтому в силу (6.41) g(y_n) z₀, но y_n = f(x_n), следовательно, g[ f(x)] z₀, n = 1, 2, ..., т. е. имеет место равенство (6.42). 

    Замечание1. Если функция Y непрерывна в точке y₀, т. е.

g(y) = g( y0),

(6.43)

то формулу (6.42) можно записать в виде

g[ f(x)] = g(f(x)).

(6.44)

Иначе говоря, предельный переход перестановочен с операцией взятия непрерывной функции. В самом деле, согласно теореме 6

Отсюда следует, в частности, что непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна, точнее:
    Следствие. Если функция f непрерывна в точке x₀, а функция g непрерывна в точке y₀ =  f(x₀), то и их композиция gf непрерывна в точке x₀.
Действительно, непрерывность функции  f в точке x₀ означает, что

f(x) = f(x0) = y0,

(6.45)

поэтому в силу непрерывности функции g в точке  y₀ из формулы (6.44) получим

т.е. функция gf непрерывна в точке x₀. 

    Замечание 2. Обычно, когда говорят, что некоторая функция в данной точке имеет предел, то имеют в виду, что этот предел конечный, а случай бесконечного предела оговаривают особо.

Критерий Коши существования предела  Оглавление Предел и непрерывность функций комплексного аргумента