6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента

    Понятия предела и непрерывности функции обобщаются на случай функций, значениями которых являются комплексные числа и которые заданы на подмножествах множества комплексных чисел.
    К таким функциям относятся, например, функции  f(z) = |z|,  f(z) = , f(z) = z²,  f(z) = 1/z. Первые три определены на всей комплексной плоскости C, а последняя - на комплексной плоскости, из которой удалена точка 0; первая принимает только неотрицательные действительные значения, три последние - существенно комплексные.
    Итак, будем здесь предполагать, что функция  f задана на некотором подмножестве Z множества комплексных чисел C и принимает комплексные значения, т. е. что

f(z) C,      z Z C .

    Комплексное число w₀ называется пределом функции  f в точке z₀ (или, что то же самое, при zz₀), если для любой последовательности комплексных чисел z_n Z, n 1, 2, ..., для которой z_n = z₀ (см. п. 5.11), имеет место равенство f(z_n) = w₀. В этом случае пишут f(z) =   w₀.
    В терминах окрестностей точек на комплексной плоскости (п. 5.11) это определение равносильно следующему.
    Комплексное число w₀ называется пределом функции f в точке z₀, если для любой окрестности V точки w₀ существует такая окрестность U точки z₀, что

f(U Z) V.

    На "языке -" это означает следующее: для любого > 0 существует такое > 0, что для всех z Z, для которых |z - z₀| < , выполняется неравенство

| f(z) = w₀| < .

    Доказательство эквивалентности двух сформулированных определений предела функции комплексного переменного - в терминах последовательностей и в терминах окрестностей - проводится аналогично случаю функций действительного аргумента, принимающих действительные значения.
    При рассмотрении предела функции  f в точке z₀ возможны два случая: z₀ принадлежит множеству Z, на котором задана функция  f, или не принадлежит ему. Если z₀ Z, то существование предела функции  f в точке z₀ означает, что

f(z) =    f(z₀).

    В этом случае функция  f называется непрерывной в точке z₀.
    Если f(z) = u(z) + v(z)i, w₀ = u₀ + v₀i, u(z), v(z), u₀, v₀ R, то существование предела f(z) равносильно, как это легко видеть, существованию пределов u(z) =  u₀ и v(z) = v₀, причем в случае существования указанных пределов имеет место равенство

f(z) = u(z) + v(z) = v₀i.

    В частности, функция f(z) непрерывна в точке z₀ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны функции u(z) и v(z).
    Заметим, что функции u(z) и v(z) принимают действительные значения, но их аргументы - комплексные числа, поэтому пределы этих функций и их непрерывность понимаются в смысле сделанных выше определений для функций комплексного переменного.
    На комплекснозначные функции комплексного аргумента переносятся многие свойства предела функций, доказанные выше в этом параграфе для действительных функций действительного аргумента. Например, предел линейной комбинации функций, имеющих пределы в некоторой точке, равен такой же линейной комбинации этих пределов.
    Функция  f(z) называется ограниченной на множестве Z C, если на этом множестве ограничена ее абсолютная величина | f(z)|.
    Как и раньше, справедливо утверждение: если функция f имеет предел при zz₀, то она ограничена в некоторой окрестности точки z₀.
    Переносятся на случай функций комплексного аргумента понятие предела при стремлении аргумента к бесконечности и понятие бесконечного предела. Ограничимся формулировкой общего понятия предела (конечного и бесконечного) лишь в терминах последовательностей.
    Бесконечность называется бесконечно удаленной точкой комплексной плоскости C, в связи с чем точки самой комплексной плоскости C называются также и конечными точками.
    Конечная или бесконечно удаленная точка w₀ комплексной плоскости C называется пределом функции f при zz₀, где z₀ - также конечная или бесконечно удаленная точка, если для любой последовательности
z_n Z, n 1, 2, ..., для которой z_n = z₀, имеет место f(z_n) = w₀.
    Это определение предела (как и все сформулированные выше) содержательно, конечно, лишь в том случае, когда существует такая последовательность z_n Z, n 1, 2, ..., что z_n = z₀. В этом случае точка z₀ называется соответственно конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества Z.

Предел и непрерывность композиции функции  Оглавление Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений