7.2. Промежуточные значения непрерывных функций

    Теорема (Больцано-Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = A и f(b) = B, то для любого числа C, заключенного между A и B, существует такая точка [a,b], что

    Следствие1. Функция, непрерывная на конечном или бесконечном промежутке (отрезке, интервале, полуинтервале), принимая два каких-либо значения, принимает и все промежуточные.
Пусть для определенности f(a) = A < B =  f(b) и, следовательно, A < C < B. Разделим отрезок [a,b] на два равных отрезка точкой (a + b)/2. Если f((a + b)/2) =  C, то точка найдена (см. (7.8)): = (a + b)/2. Если f((a + b)/2)  C, то либо f((a + b)/2) < C, либо  f((a + b)/2) > C. В первом случае выберем отрезок [(a + b)/2,b] , а во втором - отрезок [a,(a + b)/2]; выбранный отрезок обозначим [a₁,b₁]. Очевидно, f(a₁) <  C <  f(b₁)  и b₁ - a₁ = (b - a)/2. Разделим отрезок [a₁,b₁] его средней точкой (a₁ + b₁)/2 на два равных отрезка.
    Если f((a₁ + b₁)/2) =  C, то =  (a₁ + b₁)/2. Если же f((a₁ + b₁)/2)   C, то выберем из получившихся отрезков тот, на левом конце которого значение функции меньше C, а на правом - больше C, и т. д. Тогда либо через конечное число шагов мы получим такую среднюю точку некоторого отрезка, что f() = C, тогда теорема доказана, либо - такую систему вложенных отрезков [a_n,b_n], что

f(an) < C < f(bn),   n = 1, 2, ...,	(7.9)
bn - an  = (b - a)/2n0 при n /	(7.10)

    Пусть  - общая точка, принадлежащая всем отрезкам [a_n,b_n]; тогда (см. замечание в п. 5.7)

a_n = b_n =

и, следовательно, в силу непрерывности функции f

Но в силу (7.9)

Из соотношений (7.11) и (7.12) следует, что  f() <  C <   f(), т. е. что f() = C. 

    Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
    Следствие 1 вытекает из того, что, принимая какие-либо значения в двух точках некоторого промежутка, непрерывная на нем функция, согласно теореме 2, принимает все промежуточные значения на отрезке с концами в этих точках. А этот отрезок, очевидно, содержится в рассматриваемом промежутке. Следствие 2 является частным случаем теоремы 2.

Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений  Оглавление  Обратные функции