7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений

    Определение 1. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой его точке.
     Теорема 1 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней и своей нижней граней. Иначе говоря, непрерывная на отрезке функция принимает как свое наибольшее, так и свое наименьшее значение (см. п. 3.1).
Пусть функция  f непрерывна на отрезке [a,b] и = f(x). Покажем, что < + и что существует такое x₀ [a,b], что  f(x₀) = .
    Пусть {y_n} - такая последовательность, что

Согласно определению верхней грани для каждого n = 1, 2, ... найдется такое x_n [a,b], что

С другой стороны, поскольку  - верхняя грань функции f, то для любого x [a,b] выполняется неравенство  f(x) < , в частности   f(x_n) < . Итак,  y_n <   f(x_n) < , n = 1, 2, ..., а поэтому

f(xn)	=		(7.3)
	(7.1)

    Последовательность {x_n} ограничена: a < x_n < b, n = 1, 2, ... Следовательно, по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность {}. Обозначим ее предел через x₀:

Поскольку a < < b, то

А так как {f()} является подпоследовательностью последовательности {f(x_n)}, то из (7.3) имеем

Но функция  f непрерывна на отрезке [a,b], в частности, в точке x₀, поэтому из (7.4) вытекает, что

Следовательно,

	=	f(x0) < +.
	(7.6) (7.7)

    Аналогично доказывается ограниченность снизу функции f и достижимость ее нижней грани. 

Предел и непрерывность функций комплексного аргумента  Оглавление  Промежуточные значения непрерывных функций