Лемма. Если функция f
строго возрастает (см. п. 6.11)
на множестве X и f(X) = Y, то
обратная функция
f -1 (см. п. 1.2)
является однозначной строго возрастающей на
множестве Y функцией.
Докажем сначала
однозначность обратной функции f -1.
Допустим противное: пусть существует такая точка
y
Y, что
ее прообраз содержит по крайней мере две
различные точки x1 и x2,
т. е. x1
x2
и f(x1) = f(x2).
Возможны два случая: либо x1 < x2,
либо x1 > x2. В первом
случае в силу строгого возрастания функции f должно
быть f(x1) < f(x2),
а во втором - f(x1) > f(x2).
И то, и другое невозможно, так как f(x1) =
f(x1).
Докажем теперь, что обратная функция f -1
строго возрастает на множестве Y = f(X).
Пусть y1 < y2, y1
Y, y2
Y, x1 =
f -1( y1), x2 =
f -1( y2) и, следовательно,
f(x1) = y1, f(x2) =
y2. Если бы x1 = x2,
то f(x1) = f(x1),
т. е. имело бы место равенство y1 = y2,
а если бы x1 > x2, то в
силу строгого возрастания функции f
имело бы место неравенство f(x1) > f(x2),
т. е. y1 > y2. И то, и
другое противоречит условию y1 < y2.
Таким образом, остается возможным только
случай x1 < x2.
Теорема 3. Если функция f строго возрастает и непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = A, f(b) = B, то
f([a,b]) = [A,B] |
(7.13) |
и обратная функция является однозначной строго
возрастающей непрерывной на отрезке [A,B]
функцией.
Докажем сначала равенство
(7.13). Если a < x < b,
то в силу возрастания функции f на отрезке [a,b]
выполняется неравенство
A = f(a) < f(x) < f(b) = B.
С другой стороны, для любой точки y
[A,B]
согласно теореме 2 о промежуточных значениях
непрерывной функции найдется такая точка x
[a,b], что f(x) = y.
Это и означает, что образом отрезка [a,b]
при отображении f является отрезок [A,B]
и, тем самым, отрезок [A,B] является
множеством, на котором определено обратное
отображение (обратная функция) f -1.
Однозначность функции f -1
и ее строгое возрастание на отрезке [A,B]
следуют из леммы. Докажем ее непрерывность на
этом отрезке.
Выберем произвольно y0 [A,B], и пусть
yn = y0,
yn
[A,B],
n = 1, 2, ... Тогда из равенства (7.13) следует,
что существуют такие точки x0
[a,b] и xn
[a,b], что
f(x0) = y0, f(xn) = yn, |
(7.14) |
т. е. f -1(y0) = x0,
f -1(yn) = xn, n = 1,
2, ...
Покажем, что xn
= x0, т. е. что
f -1(yn)
= f -1(y0).
Допустим, что это не так. Тогда
найдется такое > 0,
что вне окрестности U(x0,
) лежит бесконечно много
элементов последовательности {xn}, а
поэтому у нее существует подпоcледовательность {xnk},
все члены которой лежат вне окрестности U(x0,
):
xnk U(x0,
),
и, следовательно,
xnk |
(7.15) |
|
Множество [a,b] \ U(x0,) является либо
отрезком, либо объединением двух отрезков (рис.
70). По теореме Больцано-Вейершрасса у
подпоследовательности {
} существует ее подпоследовательность xnks,
сходящаяся к некоторой точке x*:
xnks
= x*,
причем в силу (7.15)
x* [a,b] \ U(x0,
).
Из этого включения, очевидно, вытекает, что
x0 |
(7.16) |
Из непрерывности функции f в точке x* следует, что
f(xnks)
= f(x*).
Но предел подпоследовательности { f(xnks)} последовательности yn = f(xn), n = 1, 2, ..., равен пределу всей последовательности, поэтому
f(x*) = |
= | ![]() |
(7.14) |
А так как
y0 |
= |
f(x0), |
(7.14) |
то получилось, что f(x*) = f(x0). Это же в силу взаимной однозначности отображения f противоречит неравенству (7.16). Следовательно,
f -1(yn)
= f -1(y0),
т. е. обратная функция f -1
непрерывна в произвольно выбранной точке y0
[A,B].
Теорема 4. Если функция f непрерывна и строго возрастает на интервале (a,b),
A = |
(7.17) |
то f((a,b)) = (A,B)
и обратная функция f -1
является однозначной строго возрастающей
непрерывной на интервале (A,B)
функцией.
Поскольку
из (7.17) следует, что
A = |
(7.18) |
(см. теорему 4 из п. 6.11), то
для любого x (a,b)
в силу определения нижней и верхней граней
функции имеет место неравенство
A = inf f < f(x) < sup f = B.
Более того, для всех , a < x < b,
выполняется строгое неравенство A < f < B.
В самом деле, если бы нашлась, например, такая
точка x (a,b),
что f(x) = A, то для любой
точки x', a < x' < x,
в силу строгого возрастания функции f имело
бы место неравенство
f(x') < f(x) = A =
f(x),
что противоречит определению нижней грани. Итак,
f((a,b)) |
(7.19) |
Пусть теперь
A = inf f < y < sup f = B.
Тогда согласно определению нижней и верхней
граней функции существуют такие точки x1
(a,b) и
x2 (a,b),
что
A < f(x1) < y < f(x2) < B.
В силу строгого возрастания и непрерывности
сужения функции f на отрезок [x1,x2]
обратная для него функция определена и
непрерывна на отрезке [ f(x1), f(x2)]
(см. теорему 3). А тогда, во-первых,
существует такая точка x (x1,x2)
(a,b), что f(x) = y
и, следовательно, f((a,b)) = (A,B),
а во-вторых, сужение на отрезок [ f(x1),
f(x2)] обратной функции f -1
непрерывно во внутренней точке y
отрезка [ f(x1), f(x2)],
а поэтому в этой точке непрерывна и обратная
функция f -1, рассматриваемая на всем
множестве своего определения, т. е. на
интервале (A,B).
Отметим, что последнее заключение
следует из того, что если сужение какой-либо
функции на множество, содержащее некоторую
окрестность заданной точки, непрерывно в этой
точке, то и сама функция, рассматриваемая на всем
множестве своего определения, непрерывна в
указанной точке, так как непрерывность в точке
зависит лишь от значений функции в достаточно
малой окрестности этой точки.
Отметим, что в теореме 4 интервалы (a,b)
и (A,B) могут быть как конечными, так и
бесконечными:
-< a < b
< +
, -
< A < B <
+
.
Утверждения, аналогичные теоремам 3 и 4,
имеют место и для строго убывающих функций.
Пример. Функция y = xn,
n N, строго возрастает на полуоси
x > 0 и непрерывна на всей числовой оси.
Действительно, если 0 < x1 < x2,
то, умножая n раз это неравенство само на
себя, получим
; это и
означает строгое возрастание рассматриваемой
функции. Для доказательства ее непрерывности
заметим, что функция y = x
непрерывна на всей числовой оси. В самом деле,
каковы бы ни были x
R и
> 0, возьмем
=
. Если y0 = x0,
то
y = y - y0 =
x - x0 =
x. Поэтому при |
x|
<
получим |
y| = |
x| <
=
, т. е.
y
= 0, а это и является условием непрерывности
функции y = x. Функция же y = xn
непрерывна на всей числовой оси (в частности, при x > 0)
как произведение n непрерывных функций y = x.
Из того, что xn
= 0 и
xn = +
, следует согласно
теореме 4, что множество значений функции y = xn
на интервале (0,+
)
также является интервалом (0,+
). Отсюда согласно той же
теореме вытекает, что обратная функция x = y1/n
определена, строго возрастает и непрерывна на
интервале (0,+
).
Поэтому, в частности, из любого положительного
числа можно извлечь положительный корень n-й
степени, и притом единственный, а следовательно,
для любого рационального числа r однозначно
определена степень ar, a > 0,
такая, что ar > 0 (см. п. 2.1). Замечание. Аналоги теорем 3
и 4 имеют место и для функций, строго монотонных и
непрерывных на конечных или бесконечных
полуинтервалах вида [a,b) и (a,b].
Их формулировка и доказательство по мере
потребности предоставляются читателю.
Промежуточные значения непрерывных функций Оглавление Равномерная непрерывность