7.3. Обратные функции

    Лемма. Если функция f строго возрастает (см. п. 6.11) на множестве X и f(X) = Y, то обратная функция
 f ^-1 (см. п. 1.2) является однозначной строго возрастающей на множестве Y функцией.
Докажем сначала однозначность обратной функции f ^-1. Допустим противное: пусть существует такая точка y Y, что ее прообраз содержит по крайней мере две различные точки x₁ и x₂, т. е. x₁ x₂ и f(x₁) =  f(x₂). Возможны два случая: либо x₁ < x₂, либо x₁ > x₂. В первом случае в силу строгого возрастания функции f должно быть  f(x₁) <  f(x₂), а во втором - f(x₁) >  f(x₂). И то, и другое невозможно, так как  f(x₁) =  f(x₁).
    Докажем теперь, что обратная функция f ^-1 строго возрастает на множестве Y =  f(X). Пусть y₁ < y₂,   y₁ Y, y₂ Y, x₁ =  f ^-1( y₁), x₂ =  f ^-1( y₂) и, следовательно,   f(x₁) =  y₁,  f(x₂) =  y₂. Если бы x₁ = x₂, то  f(x₁) =  f(x₁), т. е. имело бы место равенство y₁ = y₂, а если бы x₁ > x₂, то в силу строгого возрастания функции  f имело бы место неравенство  f(x₁) > f(x₂), т. е. y₁ > y₂. И то, и другое противоречит условию  y₁ < y₂. Таким образом, остается возможным только случай x₁ < x₂. 

    Теорема 3. Если функция f строго возрастает и непрерывна на отрезке [a,b],   f(a) = A, f(b) = B, то

и обратная функция является однозначной строго возрастающей непрерывной на отрезке [A,B] функцией.
Докажем сначала равенство (7.13). Если a < x < b, то в силу возрастания функции f на отрезке [a,b] выполняется неравенство

A = f(a) <  f(x) <  f(b) = B.

    С другой стороны, для любой точки  y [A,B] согласно теореме 2 о промежуточных значениях непрерывной функции найдется такая точка x [a,b], что  f(x) = y. Это и означает, что образом отрезка [a,b] при отображении f является отрезок [A,B] и, тем самым, отрезок [A,B] является множеством, на котором определено обратное отображение (обратная функция) f ^-1.
    Однозначность функции f ^-1 и ее строгое возрастание на отрезке [A,B] следуют из леммы. Докажем ее непрерывность на этом отрезке.
    Выберем произвольно y₀ [A,B], и пусть y_n = y₀,  y_n [A,B], n = 1, 2, ... Тогда из равенства (7.13) следует, что существуют такие точки x₀ [a,b] и x_n [a,b], что

т. е. f ^-1(y₀) = x₀, f ^-1(y_n) = x_n, n = 1, 2, ...
    Покажем, что x_n = x₀, т. е. что

f ^-1(y_n) = f ^-1(y₀).

    Допустим, что это не так. Тогда найдется такое > 0, что вне окрестности U(x₀,) лежит бесконечно много элементов последовательности {x_n}, а поэтому у нее существует подпоcледовательность {x_nk}, все члены которой лежат вне окрестности U(x₀,):

x_nk U(x₀,),

и, следовательно,

    Множество [a,b] \ U(x₀,) является либо отрезком, либо объединением двух отрезков (рис. 70). По теореме Больцано-Вейершрасса у подпоследовательности {} существует ее подпоследовательность x_nks, сходящаяся к некоторой точке x*:

x_nks = x*,

причем в силу (7.15)

x* [a,b] \ U(x₀,).

Из этого включения, очевидно, вытекает, что

Из непрерывности функции f в точке x* следует, что

f(x_nks) =  f(x*).

Но предел подпоследовательности { f(x_nks)} последовательности y_n =  f(x_n), n = 1, 2, ..., равен пределу всей последовательности, поэтому

f(x*) = f(xnks) =  f(xn)	=	yn = y0.
	(7.14)

А так как

то получилось, что f(x*) = f(x₀). Это же в силу взаимной однозначности отображения f противоречит неравенству (7.16). Следовательно,

f ^-1(y_n) = f ^-1(y₀),

т. е. обратная функция f ^-1 непрерывна в произвольно выбранной точке y₀ [A,B]. 

    Теорема 4. Если функция f непрерывна и строго возрастает на интервале (a,b),

то f((a,b)) = (A,B) и обратная функция  f ^-1 является однозначной строго возрастающей непрерывной на интервале (A,B) функцией.

    Поскольку из (7.17) следует, что

(см. теорему 4 из п. 6.11), то для любого x (a,b) в силу определения нижней и верхней граней функции имеет место неравенство

A = inf f <  f(x) < sup f = B.

Более того, для всех , a < x < b, выполняется строгое неравенство A < f < B. В самом деле, если бы нашлась, например, такая точка x (a,b), что  f(x) = A, то для любой точки x', a < x' < x, в силу строгого возрастания функции f имело бы место неравенство

f(x') <  f(x) = A = f(x),

что противоречит определению нижней грани. Итак,

    Пусть теперь

A = inf f <  y < sup f = B.

Тогда согласно определению нижней и верхней граней функции существуют такие точки x₁ (a,b) и
x₂ (a,b), что

A <  f(x₁) <  y <  f(x₂) < B.

В силу строгого возрастания и непрерывности сужения функции f на отрезок [x₁,x₂] обратная для него функция определена и непрерывна на отрезке [ f(x₁), f(x₂)] (см. теорему 3). А тогда, во-первых, существует такая точка x (x₁,x₂) (a,b), что  f(x) = y и, следовательно,  f((a,b)) = (A,B), а во-вторых, сужение на отрезок  [ f(x₁), f(x₂)] обратной функции f ^-1 непрерывно во внутренней точке y отрезка [ f(x₁), f(x₂)], а поэтому в этой точке непрерывна и обратная функция f ^-1, рассматриваемая на всем множестве своего определения, т. е. на интервале (A,B).
    Отметим, что последнее заключение следует из того, что если сужение какой-либо функции на множество, содержащее некоторую окрестность заданной точки, непрерывно в этой точке, то и сама функция, рассматриваемая на всем множестве своего определения, непрерывна в указанной точке, так как непрерывность в точке зависит лишь от значений функции в достаточно малой окрестности этой точки. 
    Отметим, что в теореме 4 интервалы (a,b) и (A,B) могут быть как конечными, так и бесконечными:
-< a < b < +, -< A < B < +.
    Утверждения, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и для строго убывающих функций.

    Пример. Функция y = xⁿ, n N, строго возрастает на полуоси x > 0 и непрерывна на всей числовой оси. Действительно, если 0 < x₁ < x₂, то, умножая n раз это неравенство само на себя, получим ; это и означает строгое возрастание рассматриваемой функции. Для доказательства ее непрерывности заметим, что функция y = x непрерывна на всей числовой оси. В самом деле, каковы бы ни были x R и > 0, возьмем
= . Если y₀ = x₀, то y =  y - y₀ =  x - x₀ = x. Поэтому при |x| <  получим |y| = |x| < = , т. е.
y = 0, а это и является условием непрерывности функции  y = x. Функция же y = xⁿ непрерывна на всей числовой оси (в частности, при x > 0) как произведение n непрерывных функций y = x.
    Из того, что xⁿ = 0  и xⁿ = +, следует согласно теореме 4, что множество значений функции y = xⁿ на интервале (0,+) также является интервалом (0,+). Отсюда согласно той же теореме вытекает, что обратная функция x = y^1/n определена, строго возрастает и непрерывна на интервале (0,+). Поэтому, в частности, из любого положительного числа можно извлечь положительный корень n-й степени, и притом единственный, а следовательно, для любого рационального числа r однозначно определена степень a^r, a > 0, такая, что a^r > 0 (см. п. 2.1). Замечание. Аналоги теорем 3 и 4 имеют место и для функций, строго монотонных и непрерывных на конечных или бесконечных полуинтервалах вида [a,b) и (a,b]. Их формулировка и доказательство по мере потребности предоставляются читателю.

Промежуточные значения непрерывных функций  Оглавление Равномерная непрерывность