Функция у = , x > 0,
называется степенной функцией (
R).
Теорема 4. При любом R степенная функция
непрерывна при всех x > 0.
Это сразу следует из того, что
степенную функцию
можно представить
как композицию непрерывных функций -
логарифмической и показательной. В самом деле,
поскольку x = eln x, то
у = =
= eu,
u =
ln x.
В точке x = 0 функция определена не для всех значений
показателя
. Если
> 0, то существует предел
=
= 0. По
определению полагают
|
(8.30) |
Это определение согласуется с тем, что при
рациональных = r > 0
имеет место
= 0. Кроме того,
естественность определения (8.30) оправдывается и
тем, что, если в определении (8.7) взять
= 0 (раньше предполагалось, что
> 0), то будем иметь
При определении (8.30) функция оказывается непрерывной справа в точке
x = 0 при любом
> 0.
Функция может
оказаться определенной при некоторых
рациональных
0 и для x < 0, например,
,
, n
N.
Степенная функция
непрерывна во
всех точках, в которых она определена. Это
следует из того, что если она определена при x < 0,
то является четной или нечетной функцией.
Показательная и логарифмическая функции Оглавление Тригонометрические и обратные тригонометрические функции