8.3. Степенная функция

    Функция у = , x > 0, называется степенной функцией ( R).
    Теорема 4. При любом R степенная функция непрерывна при всех x > 0.
Это сразу следует из того, что степенную функцию можно представить как композицию непрерывных функций - логарифмической и показательной. В самом деле, поскольку x = e^ln x, то

у = = = e^u,   u = ln x. 

    В точке x = 0 функция определена не для всех значений показателя . Если > 0, то существует предел
= = 0. По определению полагают

Это определение согласуется с тем, что при рациональных = r > 0 имеет место = 0. Кроме того, естественность определения (8.30) оправдывается и тем, что, если в определении (8.7) взять = 0 (раньше предполагалось, что > 0), то будем иметь

    При определении (8.30) функция оказывается непрерывной справа в точке x = 0 при любом > 0.
     Функция может оказаться определенной при некоторых рациональных  0 и для x < 0, например,
, , n  N. Степенная функция непрерывна во всех точках, в которых она определена. Это следует из того, что если она определена при x < 0, то является четной или нечетной функцией.

Показательная и логарифмическая функции  Оглавление  Тригонометрические и обратные тригонометрические функции