8.2. Показательная и логарифмическая функции

    Перечислим основные свойства степеней a^r, a > 0, с рациональными показателями r Q (см. п. 2.1).
    1^o. Пусть r₁ < r₂. Если a > 1, то  < , а если a < 1, то   > .
    2^o. =  .
    3^o. = .
    Эти свойства доказываются в курсе элементарной математики в предположении существования и однозначной определенности a^r для любого рационального r, a > 0, а это было доказано в п. 7.3.
    Вспомним еще, что a⁰ = 1 и что a^-r = 1/r.
    Из свойства 1^o вытекает, что для любого r Q выполняется неравенство a^r > 0. В самом деле, если a > 1 и r > 0, то по свойству 1^o a^r > a⁰ = 1 > 0. Отсюда следует, что a^-r = 1/r > 0. Аналогично рассматривается случай 0 < a < 1.
    Нашей ближайшей задачей является определение значения выражения a^x для любого действительного числа x и a > 0. Затем будут изучены свойства функции a^x.

    Лемма 1. Для любого a > 0 имеет место равенство

    Следствие. Для любого a > 0 имеет место равенство

Пусть сначала a > 1. Для любого n N положим

Поскольку 1/n > 0, то a^1/n > a⁰ и, следовательно,

Из (8.3) и (8.4) вытекает, что

a = (1 + x_n)ⁿ = 1 + nx_n + ... > nx_n.

Отсюда и из неравенства (8.4) получаем 0 < x_n < a/n, а так как (a/n) = 0, то x_n = 0, что в силу (8.3) и означает, что

Если a < 1, то b = 1/a > 1, и потому

Наконец, если a = 1, то утверждение (8.1) очевидно, так как

1^1/n = 1,   n = 1, 2, ...

Из доказанного следует, что при любом a > 0 имеет место и равенство

a^-1/n =  1/a^1/n = 1.  

    Докажем следствие.
Для всех a > 0 функция a^r монотонна на множестве рациональных чисел Q. Для каждого действительного числа x множества рациональных чисел r < x и r > x не пусты и точка x является их точкой прикосновения. Поэтому, согласно следствию из теоремы 4 п. 6.11, существуют односторонние пределы a^r a^r и  a^r, r  Q. В частности, указанные пределы существуют для x = 0. Согласно определению предела функции в терминах последовательностей их значения равны соответственно значению последовательностей при любых последовательностях r_n < 0 и r_n > 0, стремящихся к нулю, r_n  Q, n = 1, 2, ... Выбрав r_n = -1/n   и r_n = 1/n, для которых пределы уже вычислены (см. (8.1)), в силу сказанного получим

т. е. односторонние пределы в точке x = 0 функции a^r, r  Q, r0, равны и, следовательно, согласно теореме 2 п. 6.6, существует двусторонний предел a^r = 1 . Он совпадает со значением a⁰ = 1 функции a^r при r = 0, а поэтому (см. лемму 5 в п. 6.9) она непрерывна в нуле:

a^r = a⁰ = 1,     r  Q,   a > 0.

Равенство (8.2) доказано. 
    Определение. Пусть a > 0 и x  R. Определим a^x как предел a^r по множеству рациональных чисел Q, когда rx, т. е.

    Докажем, что это определение корректно, т. е. покажем, используя критерий Коши для предела функции (см. теорему 5 в п. 6.12), что предел (8.7) существует.
Пусть a > 1 и x  R. В силу принципа Архимеда существует натуральное n такое, что

Зададим произвольно > 0. Согласно следствию леммы 1 существует такое > 0, что для всех рациональных r, удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Если это условие выполняется для некоторого > 0, то оно заведомо выполняется и для всякого меньшего положительного . Поэтому указанное > 0 можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось неравенство (см. (8.8))

    Если рациональные числа r' и r" принадлежат /2-окрестности точки x:

|r' - x| < /2,  |r" - x| < /2,

и, следовательно,

то, заметив, что

будем иметь

Таким образом, для произвольно заданного > 0 существует такое > 0, что из выполнения условий
|r' - x| < /2, |r" - x| < /2 вытекает неравенство

|a^r" - a^r'| < .

    Согласно критерию Коши это означает существование конечного предела a^r для всех x R, a > 1. Этот предел обозначается a^x.
    Если 0 < a < 1, то b = 1/a > 1, для любого x R предел

a^r  = 1/a^r

также существует.
    Отметим, что если x Q, то определение (8.7) совпадает с уже известным определением рациональной степени a^r числа a, r Q. Действительно, в силу доказанного предел a^r  =  a^x существует и для любой последовательности r_nx, r_n Q, n = 1, 2, ..., равен пределу . В случае x = r Q   за указанную последовательность можно взять стационарную последовательность r_n = r, n = 1, 2, ... Тогда будем иметь

a^x = = a^r = a^r.

    Из определения функции a^x следует, что для любого действительного числа x выполняется равенство

Действительно, это равенство имеет место для рациональных значений x = r Q, поэтому для любого действительного x получаем

a-x	=	a-r = (1/ar)	=	1/ax.
	(8.7)		(8.7)

    Функция f(x) = a^x, a > 0, x R, называется показательной функцией.
    В случае a = e функция e^x обозначается также exp x и называется экспонентой.

    Теорема 3. Показательная функция a^x, a > 0, обладает следующими свойствами.
    1^o. При a > 1 она строго возрастает, а при a < 0 строго убывает на всей числовой оси.
    2^o. Для любых x R и y R имеет место равенство a^xa^y = a^x+y.
    3^o. Для любых x R и y R имеет место равенство (a^x)^y = a^xy.
    4^o. Функция a^x непрерывна на всей числовой оси.
    5^o. Областью значений функции a^x является множество всех положительных чисел, т. е. бесконечный интервал (0,+).
Доказательство.1^o. Пусть для определенности a > 1 и x < y. Существуют такие рациональные числа r' и r", что

x < r' < r" < y.

Возьмем последовательности рациональных чисел r'_nx и r"_ny такие, что r'_n < r' < r" < r"_n, n = 1, 2, ... Тогда в силу свойства 1^o степеней с рациональными показателями будем иметь

< a^r'< a^r" < ,   n = 1, 2, ...

Переходя в этом неравенстве к пределу при n, получим

a^x = < a^r'< a^r" <  = a ^y,

т. е. при x < y имеет место неравенство a^x < a ^y.
    Отметим, что из 1^o и того, что для любого рационального r имеет место неравенство a ^r > 0, следует, что для любого действительного числа x выполняется неравенство

    В самом деле, если, например, a > 1 и x R, то, выбрав рациональное число r так, чтобы выполнялось неравенство r < x, получим a^x > a^r > 0. Аналогично рассматривается случай 0 < a < 1.
    Доказательство 2^o. Пусть x R, y R, r'_n Q, r"_n Q,   r'_nx и r"_ny, и, следовательно, r'_n + r"_nx + y, n = 1, 2, ... Тогда

axay	=		=	=	=	ax+y.
	(8.7)		п.6.7		(8.7)

    Доказательство 4^o. (свойство 3^o будет доказано позже). Покажем, что функция a^x непрерывна на всей числовой оси. Пусть x₀. В силу монотонности функции a^x (см. свойство 1^o) существуют конечные односторонние пределы a^x   и a^x. Ясно, что они совпадают соответственно с односторонними пределами  a^r и a^r   сужения функции a^x на множество рациональных чисел Q, из которого удалена точка x₀, если она рациональная. Эти пределы в свою очередь совпадают с двусторонним пределом (см. формулу (8.7)). Таким образом,

a^x = a^r = a^r = a^x.

В силу равенства односторонних пределов

  a^x = = a^x

согласно теореме 2 из п. 6.6 существует двусторонний предел

a^x = .

Отсюда в силу леммы 5 из п. 6.9 следует, что в точке x₀ предел функции a^x существует и без ограничения x x₀, т. е.

Это и означает, что функция a^x, x R, непрерывна в любой точке x₀ R.
    Доказательство 3^o. Пусть сначала y = p - натуральное число; тогда, применив p раз свойство 2^o, получим

Если y = 1/q, где q - натуральное число, то

В самом деле, согласно определению корня для доказательства справедливости равенства (8.17) надо показать, что

(a^x/q)^q = a^x,

а это равенство сразу следует из свойства (8.16):

Если y = p/q, где p и q - натуральные числа, то

Если же  y = -p/q, то

Наконец, при  y = 0, очевидно,

Таким образом, для любого рационального числа r справедливо равенство

Пусть теперь y - произвольное действительное число. Возьмем какую-либо последовательность рациональных чисел {r_n}, имеющую своим пределом число y, т. е. r_ny, r_n Q, n = 1, 2, ... Тогда

Поскольку xr_n = xy, то в силу непрерывности функции a^x на всей числовой оси имеет место равенство

а в силу определения (8.7) степени числа - равенство

    Переходя к пределу при n в равенстве (8.22), в силу (8.23) и (8.24) получим (a^x)^y = a^xy.
    Доказательство. 5^o. Поскольку функция a^x строго монотонная, то для того чтобы доказать, что ее областью значений является бесконечный интервал (0,+), надо согласно теореме 4 п. 7.3 доказать, например, при a > 1, что

    Эти пределы (конечные или бесконечные) в силу монотонности функции всегда существуют (см. п. 6.11), поэтому достаточно лишь доказать, что для каких-либо фиксированных последовательностей x_n- и x_n+ имеют место равенства = 0, = +, например, что эти равенства справедливы для последовательностей x_n = n и x'_n = n, n = 1, 2, ... А это было доказано выше (см. пример 4 в п. 5.1).
    Функция, обратная к показательной функции y = a^x, a > 0, a1, называется логарифмической и обозначается log_a y. В силу свойства 5^o показательной функции логарифм log_a y определен для любого положительного числа. Число a называется основанием логарифмической функции y = log_a x. Особую роль в математическом анализе играет логарифмическая функция с основанием a = e, она обозначается ln x и называется натуральным логарифмом.
    Согласно определению обратной функции справедливо тождество

Теорема. Логарифмическая функция  y = log_a x, a > 0, a1, определена и непрерывна при любом x > 0. При этом она строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1.
Это непосредственно следует из свойств 1^o ,4^o и 5^o показательной функции (теорема 3) и теоремы 4 из п. 7.3. 
    Подчеркнем, что нами, в частности, доказано, что при любом основании a > 0, a1, логарифм log_a x определен для любого положительного числа x. Из свойств 2^o и 3^o показательной функции следуют соответствующие свойства логарифма произведения и степени:

loga xy  = loga x + loga y,  x > 0,   y > 0,	(8.27)
loga  = loga x,  x > 0,   R.	(8.28)

Докажем, например, формулу (8.28). Согласно свойству 3^o показательной функции из теоремы 3 имеем

Поэтому

Из формул (8.27) и (8.28) следует формула для логарифма частного:

    С помощью перечисленных свойств показательной и логарифмической функций можно получить и другие их свойства. Докажем, например, равенство

(ab)^x = a^xb^x,    a > 0, b > 0

В случае a = 1, или b = 1 написанное равенство очевидно. Если же a  1 и b  1, то

Многочлены и рациональные функции   Оглавление  Степенная функция