|
Лемма 2. Для любого действительного числа x имеет место неравество
|sin x| < |x|. |
(8.31) |
|
Рассмотрим
на координатной плоскости круг радиуса R с
ценром в начале координат O. Если 0 < x <
/2, OA = R, 
AOC = x (рис. 71), то
0 < sin x = |AC| /R = |AB| /2R < |
| /2R = x,
где |AB| - длина хорды, соединяющей точки A и B,
эти точки, || - длина
дуги окружности, соединяющей эти точки, а
отношение || /R
равно радианной мере угла AOB,
т. е. равно 2x. Таким образом, неравенство
(8.31) для случая 0 < x < /2 доказано.
Если -/2 < x <
0, то 0 < -x < /2, и потому по уже доказанному |sin x| = sin (-x) < -x = |x|,
т. е. в этом случае неравенство (8.31) также
справедливо.
Наконец, если |x| > /2 > 1, то неравенство (8.31) очевидно,
ибо |sin x| < 1. 
Теорема 5. Функции y = sin x
и y = cos x непрерывны на всей
числовой оси.
Докажем, например,
непрерывность функции y = sin x:
| |
(8.32) |
ибо
|cos(x + 
x/2)| < 1, |sin x/2| < |x|/2.
Из неравенства (8.32) сразу следует, что
y = 0; это и означает
непрерывность функции y = sin x в
произвольной точке x 
R.
Следствие. Функции tg x = sin x /cos x
и ctg x = cos x / sin x
непрерывны во всех точках числовой оси, кроме
тех, в которых их знаменатели обращаются в
нуль.
Это сразу следует из
непрерывности частного непрерывных функций в
точках, в которых делитель не обращается в нуль
(см. следствие из свойства 6o
пределов функций в п. 6.7).
Теорема 6. Каждая из обратных
тригонометрических функций y = arcsin x,
y = arccos x, y = arctg x
и y = arcctg x непрерывна в
области своего определения.
Это в силу теоремы о
непрерывности обратных функций (см. п. 7.3) сразу следует из теорем 3 и
4.
