10.1. Определение производной

    Пусть функция y = f(x) задана в окрестности U(x₀) точки x₀ R, x U(x₀) и, следовательно, функция

определена на проколотой окрестности  (x₀).
    Определение1. Если существует предел

,

то он называется производной функции f в точке x₀ и обозначается f'(x₀).
     Таким образом,

Образно говоря, это равенство означает, что производная f'(x₀) функции y = f(x) в точке x₀ равна скорости изменения переменной y относительно переменной x в указанной точке.
    Если положить x = x - x₀, y =  f(x) -  f(x₀) =   f(x₀ + x) , не писать аргумент и обозначить производную через y', то получим определение (10.1) в виде

    Иногда производная обозначается не только штрихом, но еще указывается в виде нижнего индекса переменная, по которой берется производная, т. е. пишут y'_x, а также просто y_x.
    Если предел (10.1) равен , + и _, то производная f'(x₀) называется бесконечной.
    Всегда, когда говорится о существовании производной (конечной или бесконечной) в некоторой точке, подразумевается (согласно определению производной), что функция определена в какой-то окрестности рассматриваемой точки.
    Под производной всегда понимается конечная производная: в случае, когда допускаются бесконечные производные (определенного знака или знаконеопределенные), это специально оговаривается.
    Если функция f определена на некотором отрезке [a,b], то под ее производной в точках x₀ = a и x₀ = b обычно понимается соответственно предел справа или слева отношения   при xx₀. Эти пределы называют также производными соответственно справа и слева.
    Операция вычисления производной функции называется операцией дифференцирования.
    Примеры. 1. y = c - постоянная функция. Имеем y = c - c = 0, следовательно, y' = (x/y) = 0 , т. е. c' = 0.
    2.  y = sin x. Имеем

поэтому

т. е. (sin x)' = cos x. Аналогично,

(cos x)' = -sin x.

    3. y = a^x, a > 0. Имеем

поэтому

Таким образом, (a^x)' = a^x ln a, частности (e^x)' = e^x.

Эквивалентные функции  Оглавление Дифференциал функции