9.3. Эквивалентные функции

    Примеры эквивалентных функций (см. определение 4 в п. 9.2) легко получить из результатов в п. 9.1:

 x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ ln(1 + x) ~ ex - 1,     x0. 

    Теорема 1. Для того чтобы функции  f(x) и  g(x) были эквивалентны при x0, необходимо и достаточно, чтобы

 f(x) = g(x) + o(g(x)),   x0.

(9.32)

Формула (9.32) является просто другой записью определения 4. Действительно, условие (9.26) fi(x) = 1  равносильно условию 

 fi(x) = 1 + эпсилон(x), где эпсилон(x) = 0.

Поэтому условие

 f(x) = fi(x)g(x),   fi(x) = 1,

(9.33)

равносильно условию

 f(x) = (1 + эпсилон(x))g(x) = g(x) + эпсилон(x)g(x),    эпсилон(x) = 0,

(9.34)

т. е. условию  f(x) = g(x) + o(g(x)), xx0начало

    Замечание1. Если g(x)не равно0, x принадлежит X, xне равноx0, то условие (9.32) можно записать в виде

{[ f(x) - g(x)]/g(x)} = 0.

Оно означает, что относительная погрешность [ f(x) - g(x)]/g(x)  между эквивалентными функциями  f и g является бесконечно малой при xx0.
    Пример 5. ctg x = 1/x + o(1/x), x0. Чтобы в этом убедиться, в силу теоремы 1 достаточно показать, что ctg x ~ 1/x, x0. Это же сразу следует из того, что [(tg x)/x] = 1 (см. п. 9.1), ибо

[(ctg x)/(1/x)] = (x/tg x) = 1.

    Теорема 2. Если  f(x) ~  f1(x),  g(x) ~  g1(x), xx0, то пределы (конечные или бесконечные) f(x)/g(x)]   и f1(x)/g1(x)]   одновременно существуют или нет, при этом, если они существуют, то они равны

f(x)/g(x)] = f1(x)/g1(x)].

(9.35)

Условия  f ~  f1 и g ~  g1 , xx0 означают, что существуют такие окрестность U = U(x0) и функции  fi и psi, определенные на пересечении X объединение U, что

 f(x) = fi(xf1(x),    g(x) = psi(x)g1(x),      x принадлежит   X объединение U,

(9.36)

fi(x) = psi(x) = 1.

(9.37)

Поэтому функции  f(x)/g(x) и  f1(x)/g1(x) отличаются друг от друга на множитель  fi(x)/psi(x), имеющий в точке x0 предел, равный 1:

 f(x)/g(x) = fi(xf1(x)/psi(x)g1(x)

(9.38)

[fi(x)/psi(x)] = [fi(x)]/[psi(x)] = 1.

(9.39)

Поэтому  f(x)/g(x)  и f1(x)/g1(x) одновременно имеют или нет конечный или бесконечный предел в точке x0. Если он существует, то

    Пример 6. Найдем [ln(1 + x)/sin 2x]. Поскольку

ln(1 + x) ~ x,   sin 2x ~ 2x,    x0,

то

[ln(1 + x)/sin 2x] = x/2x = 1/2.

    Замечание 2. Понятия функции, ограниченной по сравнению с другой функцией, функций одного порядка, функций, эквивалентных между собой, функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией, переносятся и на случай комплекснозначных функций комплексного аргумента. Все сформулированные выше определения остаются по форме прежними, только аргумент и значения рассматриваемых функций могут принимать комплексные значения и предел понимания в смысле предела функций комплексного переменного (см. п. 6.14). Остаются верными и аналоги теорем 1 и 2. Правда, многие из данных выше примеров нуждаются в определениях рассматриваемых в них функций (синуса, косинуса и т.д.) для комплексных значений аргумента; к этому мы вернемся в п. 41.4.


Сравнение функций в окрестности заданной точки   Оглавление   Определение производной