9.3. Эквивалентные функции

    Примеры эквивалентных функций (см. определение 4 в п. 9.2) легко получить из результатов в п. 9.1:

 x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ ln(1 + x) ~ e^x - 1,     x0. 

    Теорема 1. Для того чтобы функции  f(x) и  g(x) были эквивалентны при x0, необходимо и достаточно, чтобы

Формула (9.32) является просто другой записью определения 4. Действительно, условие (9.26) (x) = 1  равносильно условию 

 (x) = 1 + (x), где (x) = 0.

Поэтому условие

равносильно условию

т. е. условию  f(x) = g(x) + o(g(x)), xx₀. 

    Замечание1. Если g(x)0, x X, xx₀, то условие (9.32) можно записать в виде

{[ f(x) - g(x)]/g(x)} = 0.

Оно означает, что относительная погрешность [ f(x) - g(x)]/g(x)  между эквивалентными функциями  f и g является бесконечно малой при xx₀.
    Пример 5. ctg x = 1/x + o(1/x), x0. Чтобы в этом убедиться, в силу теоремы 1 достаточно показать, что ctg x ~ 1/x, x0. Это же сразу следует из того, что [(tg x)/x] = 1 (см. п. 9.1), ибо

[(ctg x)/(1/x)] = (x/tg x) = 1.

    Теорема 2. Если  f(x) ~  f₁(x),  g(x) ~  g₁(x), xx₀, то пределы (конечные или бесконечные) [ f(x)/g(x)]   и [ f₁(x)/g₁(x)]   одновременно существуют или нет, при этом, если они существуют, то они равны

Условия  f ~  f₁ и g ~  g₁ , xx₀ означают, что существуют такие окрестность U = U(x₀) и функции   и , определенные на пересечении X U, что

Поэтому функции  f(x)/g(x) и  f₁(x)/g₁(x) отличаются друг от друга на множитель  (x)/(x), имеющий в точке x₀ предел, равный 1:

Поэтому  f(x)/g(x)  и f₁(x)/g₁(x) одновременно имеют или нет конечный или бесконечный предел в точке x₀. Если он существует, то

    Пример 6. Найдем [ln(1 + x)/sin 2x]. Поскольку

ln(1 + x) ~ x,   sin 2x ~ 2x,    x0,

то

[ln(1 + x)/sin 2x] = x/2x = 1/2.

    Замечание 2. Понятия функции, ограниченной по сравнению с другой функцией, функций одного порядка, функций, эквивалентных между собой, функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией, переносятся и на случай комплекснозначных функций комплексного аргумента. Все сформулированные выше определения остаются по форме прежними, только аргумент и значения рассматриваемых функций могут принимать комплексные значения и предел понимания в смысле предела функций комплексного переменного (см. п. 6.14). Остаются верными и аналоги теорем 1 и 2. Правда, многие из данных выше примеров нуждаются в определениях рассматриваемых в них функций (синуса, косинуса и т.д.) для комплексных значений аргумента; к этому мы вернемся в п. 41.4.

Сравнение функций в окрестности заданной точки   Оглавление   Определение производной