10.2. Дифференциал функции

    Определение 2. Функция y = f(x), заданная в некоторой окрестности U(x₀) точки x₀ R, называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение

y =  f(x) =   f(x₀ + x)  -  f(x₀),    x = x - x₀,

представимо в этой окрестности в виде

где A - постоянная.
    Линейная функция Ax (аргумента x) называется дифференциалом функции f в точке x₀ и обозначается  df(x₀) или, короче, dy. Таким образом,

y =  dy + o(x),   x0,	(10.4)
dy = Ax.	(10.5)

Так как при A0 имеет место равенство (двустороннее)

o(x) = o(Ax),

то из соотношения (10.3) при A0 следует, что y =  dy + o(x), x0, т. е. что функции y и dy переменной x эквивалентны при x0 (см. теорему 1 в п. 9.3), причем, dy - линейная функция аргумента x, а y, вообще говоря, - функция более сложной структуры.
    Для симметрии записи приращение независимого переменного x обозначается dx, т. е. dx x. Поэтому формулу (10.5) можно записать в виде

Вспомнив определение o(x) (см. определение 3 в п. 9.2), условие (10.3) можно переписать в виде

Здесь функция (x) определена для тех x, для которых определена функция o(x) = y - Ax в формуле (10.3) (см. определение 4 в п. 9.2), т. е. для всех таких x, что x + x U(x₀) (см. определение 2), в частности для x = 0. Именно по множеству таких x и берется предел (10.8), а так как точка x = 0 принадлежит этому множеству, то функция (x) непрерывна в этой точке (см. п. 6.2), и, следовательно, в силу (10.8) имеем

     Теорема 1. Функция дифференцируема в некоторой точке в том и только том случае, когда она в этой точке имеет конечную производную.
1) Пусть у функции f существует конечная производная  f'(x), т. е. существует конечный предел
(x/y) =  f'(x₀). Это равносильно тому, что

где (x) (левая часть формулы (10.10) не определена при x = 0, следовательно, и функция (x)  не определена при x = 0). Поэтому

y =  f'(x₀)x + (x)x.

Доопределив функцию (x) нулем в точке x = 0, т. е. положив (0) = 0, получим

(x)x = o(x),       x0,

и, следовательно,

Это и есть условие (10.3) дифференцируемости функции f в точке x₀, причем

    2) Пусть теперь, наоборот, функция f дифференцируема в точке x₀, т. е выполняется условие (10.3), или, что то же самое, условия (10.7), (10.8). Тогда при x0 будем иметь y/x = A + (x), откуда

т. е. в точке x₀ у функции f существует производная, причем имеет место равенство (10.12). 
    Замечание 1. Из формул (10.6) и (10.12) следует, что дифференциал dy функции y = f(x) записывается в виде

а производная - в виде

    Теорема 2. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.
Если функция f дифференцируема в точке x₀, т. е. в этой точке выполняется условие (10.7), (10.8), то из него сразу следует, что

y = 0,

а это и означает непрерывность функции f в точке x₀. 

    Замечание 2. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые. Например, функция y = |x| непрерывна в точке x = 0, ибо в этой точке y = |x| (рис. 73), и потому
y = |x| = 0. Однако

(y/x) = 1,   (y/x) = -1,

и, следовательно, предел отношения y/x  при x0 не существует.

Определение производной   Оглавление   Геометрический смысл производной