Пусть функция f определена в
некоторой окрестности U(x0) точки x0,
непрерывна в этой точке, y0 = f(x0)
и M0 = (x0,y0)
(рис. 74). Зафиксируем произвольно приращение
аргумента x, лишь
бы x0 +
x
U(x0), и
пусть
y = f(x0 +
x) - f(x0),
M = (x0 +
x, y0 +
y).
Уравнение прямой, проходящей через точки M0 и M, - она называется секущей (графика функции f) - имеет вид
y = |
(10.15) |
Подчеркнем, что здесь x фиксировано, а x
и y - текущие координаты точек прямой. Если
задано семейство прямых уравнениями
a(t)x + b(t)y + c(t) = 0, |
(10.16) |
|
где t - параметр (в случае уравнения (10.15)
параметром служит x),
и существуют конечные пределы
a(t) = a0,
b(t) = b0,
c(t) = c0,
то говорят, что прямые стремятся при tt0 к предельному
положению - к прямой, уравнением которой
является уравнение
a0x + b0y + c0 = 0.
Для того чтобы секущая (10.15) при x
0 стремилась к
предельному положению, отличному от
вертикальной прямой, необходимо и достаточно,
чтобы существовал конечный предел
(
y/
x), т. е. чтобы
существовала конечная производная. При этом
уравнение предельного положения секущей,
которое называется касательной к графику
функции f в точке M0, имеет вид
y = f'(x0)(x - x0) + y0. |
(10.17) |
Отметим, что из непрерывности функции f в
точке x0 следует, что y = 0, а
поскольку
|M0M| = (x2
+
y2)1/2 ,
то и
|M0M| =
0, т. е. точка M "стремится к точке M0"
по графику функции f.
Вспомнив геометрический смысл
коэффициента при x - x0 в
уравнении (10.17), получим
f'(x0) = tg ,
где - угол наклона
касательной к оси OX (см. рис. 74). Обозначим
ординату касательной через yкас;
тогда, положив x - x0 =
x, запишем уравнение
касательной (10.17) в виде
yкас - y0 = f'(x0)x.
В правой части этого равенства стоит дифференциал dy функции f в точке x0. Таким образом,
dy = yкас - y0. |
(10.18) |
- дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Рассмотрим случай бесконечной производной
f'(x0) = |
(10.19) |
Из уравнения секущей (10.15) имеем
Переходя здесь к пределу при x
0, в случае
выполнения условия (10.19) получим уравнение
предельного положения секущей, т. е.
касательной к графику функции f в точке x0,
в виде
x = x0,
т. е. касательная в этом случае является вертикальной прямой, проходящей через точку x0 оси абсцисс (рис. 75).
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 75 |
Дифференциал функции Оглавление Физический смысл производной