10.4. Физический смысл производной и дифференциала

    Пусть значения y функции f и ее аргумент x являются некоторыми физическими величинами, причем аргумент x меняется на некотором промежутке, например на отрезке [a,b]. Отношение y/x,
где x = x - x₀, x₀ [a,b], x [a,b], y =   f(x₀ + x)  -  f(x₀), называется средней скоростью изменения переменной y относительно переменной x на отрезке с концами x₀ и x₀ + x, а предел

(y/x) = f'(x₀)

- скоростью изменения переменной y относительно переменной x в точке x₀. В случае существования этой скорости (т. е. в случае существования производной функции f в точке x₀) приращение y переменной y имеет вид

y =  f'(x₀)x + o(x),    x0

Это означает, что приращение y линейно зависит от приращения x переменной x с точностью до бесконечно малой более высокого порядка, чем x.
    Иначе говоря, существование скорости означает, что в малом физический процесс, описываемый функцией f, протекает почти линейно. Этим обстоятельство и объясняется широкое применение дифференциального исчисления при изучении самых разнообразных явлений.

    Примеры.
    1. Если s = s(t) -длина пути, проходимого материальной точкой за время t, отсчитываемого от некоторого момента t₀, s =  s(t + t)  -  s(t) (рис. 76), то
s/t называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени t, начиная с момента времени t, и обозначается
v_ср = s/t. Предел же v_ср = v называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени t. Таким образом, v = ds/dt.
    Дифференциал ds = vt равен пути, который прошла бы рассматриваемая точка за промежуток времени t, начиная с момента t, если бы движение на этом участке пути было равномерно со скоростью v. Этот путь отличается от истинного пути s на бесконечно малую более высокого порядка, чем t:
s = ds + o(t), t0.
    2. Если q = q(t) - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q =  q(t + t)  -  q(t) равно количеству электричества, протекающего через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + t. Отношение q/t называется средней силой тока за указанный промежуток времени длительностью t и обозначается I_ср. Предел же I_ср = I называется силой тока в данный момет времени t. Таким образом, I = dq/dt.
    Дифференциал dq = It равен количеству электричества, которое бы протекло через поперечное сечение проводника за промежуток времени t, если бы сила тока была постоянной и равной силе тока в момент времени t. Как всегда, q - dq = o(t), t0.

Геометрический смысл производной   Оглавление Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями