R,
а в самой точке x0 имеют конечные
производные, то функции 
1 f1(x) +2 f2(x), 1 R, 1 R,
f1(x)f2(x), а в
случае f2(x0)
0 и функции f1(x)/f2(x)
также имеют в точке x0 конечные
производные; при этом имеют место формулы Теорема 3. Если функции y1
= f1(x) и y2 = f2(x)
заданы в окрестности точки x0 R,
а в самой точке x0 имеют конечные
производные, то функции 1 f1(x) +2 f2(x), 1 R, 1 R,
f1(x)f2(x), а в
случае f2(x0)0 и функции f1(x)/f2(x)
также имеют в точке x0 конечные
производные; при этом имеют место формулы
| (1 y1
+2 y2)'
= 1 y'1 +2 y'2, |
(10.21) |
| (y1y2)' = y'1y2 + y1y'2, | (10.22) |
 |
(10.23) |
(в формулах (10.21)-(10.23) значения всех функций
взяты при x = x0).
Прежде всего заметим, что в
силу условий теоремы в точке x0
существуют конечные пределы
(
y1/x)
= y'1, (y2/x) = y'2.
Докажем теперь последовательно формулы (10.21)-(10.23).
1) Пусть y = 1
y1 +2 y2;
тогда
y = (1( y1 + y1) + 2( y2 + y2)) - (1y1 + 2y2) = 1y1
+ 2y2
и, следовательно,
y1/x = 1y1/x + 2y2/x.
Перейдя здесь к пределу при x
0,
получим формулу (10.21).
2) Пусть y2 = y1y2;
тогда
y = ( y1 +
y1)( y2
+ y2)) - y1y2
= y2y1 + y2y1 + y1y2 + y1y2,
откуда
| y1/x = y2y1/x + y1y2/x. |
(10.24) |
Заметив, что в силу непрерывности
функции f2 в точке x0
выполняется условие y2 = 0, и, перейдя в
равенстве (10.24) к пределу при x0, получим
формулу (10.22).
3. Пусть f2(x0)0, и y = y1/y2;
тогда
следовательно,
Перейдя здесь к пределу при x0, получим
формулу (10.23). 
Отметим, что из формулы (10.21) при y2 = 0
(так же, как и из формулы (10.22), когда функция y2
равна постоянной, а поэтому y'2 = 0)
следует, что постоянную можно выносить из-под
знака дифференцирования, т. е.
(y)' = y', R.
Пример. Вычислим производную функции tg x. Применяя формулу (10.23), получим
Итак,
(tg x)' = 1/cos2x.
Аналогично вычисляется
(ctg x)' = -1/sin2x.
Замечание. Поскольку dx = y'dx, то, умножая формулы (10.21)-(10.23) на dx, получим
d(1 y1
+2 y2)
= 1dy1 +2 dy',
d(y1y2) = y2dy1
+ y1dy2,
Физический смысл производной Оглавление Производная обратной функции