10.6. Производная обратной функции

    Теорема 4. Если функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x₀ и имеет в точке x₀ производную  f'(x₀)0, то обратная функция f ^-1 имеет производную в точке y₀ = f(x₀) и

Пусть функция f строго монотонна и непрерывна в окрестности U = U(x₀) точки x₀; тогда обратная функция f ^-1 строго монотонна и непрерывна на интервале V = f(U) (см. теорему 4 п. 7.3). Поэтому если
x = x - x₀, y = y - y₀, то для функции y = f(x) имеет место y = 0  и y0 при x0y0, а для функции x =  f ^-1(y) - соответственно x и x0 при y0. Заметив это, вычислим производную обратной функции следующим образом:

    Замечание. Если функция f непрерывна и строго монотонна в окрестности точки x₀ и существует  f'(x₀) = 0, то обратная функция f ^-1 имеет в точке  y₀ = f(x₀) бесконечную производную  df'(y₀)/dx = . Это сразу следует из соотношения (10.27).

    Примеры.
    1. Если

y = arcsin x,   -1 < x < 1,    -/2 < y < /2,   x = sin y,

то

(arcsin x)' = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/cos y= 1/(1 - sin² y)^1/2 = 1/(1 - x²)^1/2.

    2. Если

y = arccos x,   -1 < x < 1,    0 < y < ,   x = cos y,

то

(arccos x)' = dy/dx = 1/(dx/dy) = -1/sin y= -1/(1 - cos² y)^1/2 = -1/(1 - x²)^1/2.

    3. Если

y = arctg x,   - < x < +,   -/2 < y < /2,    x = tg y,

то

(arctg x)' = dy/dx = 1/(dx/dy) = cos² y= 1/(1 + tg² y) = 1/(1 + x²).

    4. Аналогично,

(arcctg x)' = -1/(1 + x²).

5. Если

y = log_a x,  a > 0, a 1, x > 0, - < y < +,   x = a ^y,

то

(log_a x)' = dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(a ^yln a)= 1/(xln a).

в частности,

(ln x)' = 1/x.

Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями  Оглавление Производная и дифференциал сложной функции