10.8. Гиперболические функции и их производные

    Нередко в математическом анализе встречаются функции (ex - e-x)/2 и (ex + e-x)/2. Они имеют специальные названия: первая из них называется гиперболический синус и обозначается sh x, а вторая - гиперболический косинус ch x. Таким образом,

(10.35)
(10.36)

    Эти функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства обычных (круговых) синусов и косинусов, например,

ch2x - sh2x = (e2x + 2 - e-2x - e2x + 2 - e-2x)/4 = 1, (10.37)
2ch xsh x = 2(ex - e-x)/2dot.gif (51 bytes)(ex + e-x)/2 = (e2x - e-2x)/2 = sh 2x. (10.38)

    Слово "гиперболический" в названии функций (10.35) и (10.36) объясняется тем, что уравнения

x = ach t,   y = ash t,   a > 0, -бесконечность < t < +бесконечность.

являются, в силу формулы (10.37), параметрическими уравнениями правой ветви гиперболы x2 - y2 = a2, подобно тому, как уравнения

x = acos t,   y = asin t,   0 < t < 2pi,

являются параметрическими уравнениями окружности x2 + y2 = a2. Вычислим производные гиперболических синуса, косинуса:

(10.39)
(10.40)

Производная и дифференциал сложной функции Оглавление Производные комплекснозначных функций действительного аргумента