10.7. Производная и дифференциал сложной функции

    Пусть функция  y = f(x) задана в некоторой окрестности U = U(x₀) точки x₀, а функция z = g(y) - в некоторой окрестности V = V(y₀) точки y₀ = f(x₀), причем f(U)  и, следовательно, определена сложная функция

F(x) = g(f(x)).

    Теорема 5. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x₀, а функция z = g(y) имеет производную в точке y₀ = f(x₀), то сложная функция z = F(x) = g(f(x)) также имеет в точке x₀ производную, причем

или, опуская значение аргумента,

Пусть, как всегда, x = x - x₀, y = y - y₀,  и z = g(y) - g(y₀); тогда в силу дифференцируемости функции g в точке y₀ будем иметь (см. (10.11))

Поскольку функция y = f(x) непрерывна при x = x₀, то y = 0 и, следовательно, в силу теоремы о пределе сложной функции (см. (6.41) в п. 6.13) имеем

Поделив обе части первого равенства (10.30) на x0, получим

В силу равенств (10.31) и (y/x) = f'(x₀) предел правой части равенства (10.32) при x0 существует и равен g'(y₀)f'(y₀), следовательно, существует и предел левой части, т. е. существует

F'(x₀) = (z/x),

причем

F'(x₀) = g'(y₀)f'(x₀).  

    Следствие (инвариантность формы дифференциала).

или, короче,

dz = z'_xdx = z'_ydy.

    Эта формула показывает, что формально записи дифференциала сложной функции посредством независимой переменной x и посредством зависимой переменной y имеют один и тот же вид, но следует иметь в виду, что здесь dx = x - приращение независимой переменной x, a dy - дифференциал функции y = f(x), т. е. главная линейная часть приращения y зависимой переменной ("главная" в том смысле, что разность y - dy является при x0 бесконечно малой более высокого порядка, чем само x).
    Докажем формулу (10.33):

    Пример. Вычислим производную функции y = x^a, x > 0, a R, c помощью формулы (10.28). Для этого представим функцию y = x^a как композицию функций y = e^u и  u = ln x. Заметив, что dy/du = e^u, du/dx = a/x, получим

(x^a)' = (x^aln x)' = (e^u)'_uu'_x = e^ua/x = e^aln xa/x = x^aa/x = ax^a-1,

т. е.

Производная обратной функции  Оглавление Гиперболические функции и их производные