Пусть функция y = f(x) задана в некоторой окрестности U = U(x0) точки x0, а функция z = g(y) - в некоторой окрестности V = V(y0) точки y0 = f(x0), причем f(U) и, следовательно, определена сложная функция
F(x) = g(f(x)).
Теорема 5. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x0, а функция z = g(y) имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция z = F(x) = g(f(x)) также имеет в точке x0 производную, причем
F'(x0) = g'(y0)f'(x0), |
(10.28) |
или, опуская значение аргумента,
z'x = z'yy'x. |
(10.29) |
Пусть, как всегда,
x = x - x0,
y = y - y0, и
z = g(y) - g(y0);
тогда в силу дифференцируемости функции g в
точке y0 будем иметь (см. (10.11))
|
(10.30) |
Поскольку функция y = f(x)
непрерывна при x = x0, то y = 0 и,
следовательно, в силу теоремы о пределе сложной
функции (см. (6.41) в п. 6.13)
имеем
|
(10.31) |
Поделив обе части первого равенства (10.30) на x
0, получим
|
(10.32) |
В силу равенств (10.31) и (
y/
x) = f'(x0) предел
правой части равенства (10.32) при
x
0 существует и
равен g'(y0)f'(y0),
следовательно, существует и предел левой части,
т. е. существует
F'(x0) = (
z/
x),
причем
F'(x0) = g'(y0)f'(x0).
Следствие (инвариантность формы дифференциала).
dz = F'(x0)dx = g'(y0)dy, |
(10.33) |
или, короче,
dz = z'xdx = z'ydy.
Эта формула показывает, что
формально записи дифференциала сложной функции
посредством независимой переменной x и
посредством зависимой переменной y имеют
один и тот же вид, но следует иметь в виду, что
здесь dx = x -
приращение независимой переменной x, a dy -
дифференциал функции y = f(x), т. е.
главная линейная часть приращения
y зависимой переменной ("главная"
в том смысле, что разность
y - dy является при
x
0
бесконечно малой более высокого порядка, чем
само
x).
Докажем формулу (10.33):
dz = dF(x0) |
= | F'(x0)dx | = | g'(y0)f'(x0)dx | = | g'(y0)dy. |
(10.13) | (10.28) | (10.13) |
Пример. Вычислим производную функции
y = xa, x > 0, a R,
c помощью формулы (10.28). Для этого представим
функцию y = xa как композицию функций y = eu
и u = ln x. Заметив, что dy/du = eu,
du/dx = a/x, получим
(xa)' = (xaln x)' = (eu)'uu'x = eua/x = ealn xa/x = xaa/x = axa-1,
т. е.
(xa)' = axa-1. |
(10.34) |
Производная обратной функции Оглавление Гиперболические функции и их производные