10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента

Если функция f(x) задана в некоторой окрестности U точки x0 числовой оси и принимает, вообще говоря, комплексные значения, т. е. имеет вид

f(x) = u(x) + iv(x),    u(x) принадлежит R,   v(x) принадлежит R,    x принадлежит U,

то ее производная в точке x0 определяется равенством

f'(x) = u'(x) + iv'(x)

(10.41)

(само собой разумеется, что это определение имеет смысл только тогда, когда у функции u(x) и v(x) существуют производные в точке x0).
    При таком определении операция дифференцирования остается линейной:

(lamda1 f1 + lamda2 f2)' = lamda1 f'1 + lamda2 f'2,   lamda1принадлежит C,     lamda2принадлежит C.

    Пример. Если f(x) = cos ax + isin ax, то

f(x)

 = -asin ax + iacos ax =  ia(cos ax + isin ax) = iaf(x).
(10.41)

    Можно обобщить понятие производной на случай комплекснозначных функций комплексного переменного. Это понятие приводит к большому качественному многообразию новых явлений и потому изучается в отдельном курсе теории функций комплексного переменного.

Гиперболические функции и их производные Оглавление Производные высших порядков