11.1. Производные высших порядков

    Пусть функция y = f(x) имеет производную y' = f'(x) во всех точках некоторой окрестности точки x0. Если функция f'(x) в свою очередь имеет в точке x0 производную , то она называется второй производной функции f в точке x0 и обозначается f"(x0) или f(2)(x0). Таким образом, опуская обозначения аргумента, имеем

y(2) тождество y" определение (y')'.

    Аналогично определяются и производные  y(n)  более высоких порядков n:

y(n+1) = [y(n)]',     n = 0, 1, 2, ...,

(11.1)

где для удобства считается, что y(0) = y.
    Примеры.
    1. Если y ax, a > 0, то y' ax ln a, y" ax ln2 a, вообще, y(nax lnn a, n = 0, 1, 2, ... В частности, если  y ex, то

(ex)(n) = ex.

(11.2)

    2. Если y = sin x, y' = cos x, y(2) = -sin x, y(3) = -cos x, y(4) = sin x. Заметив, что cos x = sin (x + pi/2), получим

y' = sin(x + pi/2),  y(2) = cos (x + pi/2) = sin(x + 2pi/2).

Вообще,

sin(x)(n) = sin(x + npi/2).

(11.3)

Аналогично,

cos(x)(n) = cos(x + npi/2),   n = 0, 1, 2, ..

(11.4)

    Теорема 1. Если функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x) имеют в точке x0 производные порядка n принадлежит N, то любая их линейная комбинация lamda1y1 + lamda2y2 , lamda1 принадлежит R, lamda2 принадлежит R, и их произведение y1y2 имеют в точке x0 производные порядка n, причем

(lamda1y1 + lamda2y2)(n) = lamda1y1(n) + lamda2y2(n),

(11.5)

(11.6)

    Все производные в формулах (11.5) и (11.6) берутся в точке x0, - биномиальные коэффициенты. Символическая запись (y1 + y2){n} означает, что это выражение (см. среднюю часть формулы (11.6)) по своей структуре напоминает формулу бинома Ньютона

только вместо степеней y1 и y2 берутся производные соответствующих порядков функций y1 и y2. Формула (11.6) называется формулой Лейбница.
Докажем формулы (11.5) и (11.6) методом математической индукции. В п. 10.5 формула (11.5) была доказана для n = 1:

(lamda1 y1 +lamda2 y2)' = lamda1 y'1 +lamda2 y'2.

(11.7)

Пусть справедлива формула (11.5); покажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка n + 1:


Формула (11.5) доказана; докажем формулу (11.6).
    Пусть справедлива формула (11.6) для производной порядка n от произведения функций. Докажем, что тогда будет справедлива и аналогичная формула для производной порядка n + 1:






Вспомнив, что (см. п. 2.4)

получим


    конец


Производные комплекснозначных функций действительного аргумента  Оглавление   Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически