11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически

    С помощью формулы производной сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять и производные высших порядков сложной функции. Пусть функция y = y(x) дважды дифференцируема в точке x₀, а функция z = z(x) дважды дифференцируема в точке y₀ = y(x₀) и имеет смысл сложная функция z = z(y(x)). Вычислим вторую производную сложной функции z = z(y(x)) (для простоты записи аргумент писать не будем):

    Аналогично вычисляются и производные более высоких порядков.
    С помощью формул производных обратной функции (см. п. 10.6) и сложной функции (см. п. 10.7) можно вычислять производные высших порядков обратных функций. Вычислим, например, вторую производную. Пусть функция y = y(x) дважды дифференцируема в точке x₀, а в ее окрестности непрерывна и строго монотонна, причем y'(x₀)0. Тогда для второй производной имеем в точке y₀ = y(x₀)

    Рассмотрим теперь параметрическое задание функций. Пусть на некотором множестве E задана пара функций

причем одна из них, например, x = x(t), строго монотонна на этом множестве и, следовательно, существует обратная функция t = t(x), для которой E является множеством значений. Тогда функция  y = y(t(x)) называется параметрически заданной функцией (уравнениями (11.9)). Она определена на множестве значений функции x(t).
    Если функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t₀, функция x(t) непрерывна и строго монотонна в окрестности этой точки и x'(t₀)0, то функция y(t(x)) дифференцируема в точке x₀ = x(t₀), причем

ибо t'_x = 1/x'_t.
    Аналогично вычисляются и производные высших порядков. Например, если функции (11.9) дважды дифференцируемы в точке t₀ и x'(t₀)0, то

Выведенные здесь формулы не предназначены для запоминания. Достаточно усвоить метод их получения.

Производные высших порядков  Оглавление    Дифференциалы высших порядков