11.3. Дифференциалы высших порядков

    Дифференциал от дифференциала первого порядка

dy = f'(x)dx.

(11.11)

функции y = f(x), рассматриваемого только как функция переменной x (т. е. приращение dx аргумента x предполагается постоянным), при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом d2f(x) функции f в данной точке x. Таким образом,

d2f(x)определениеd(df(x)) = d( f'(x)dx) = d( f'(x))dx = f"(x)dxdx.

Вместо dxdx пишут d2x:

d2f(x) = f"(x)dx2.

или

d2y = y"dx2,

(11.12)

откуда  y" = d2y/dx2.
    Аналогично, дифференциалом n-го порядка, n = 2, 3, ..., называется дифференциал от дифференциала порядка n - 1 при условии, что в дифференциалах все время берутся одни и те же приращения dx независимой переменной x:

dny определение d(dn-1y).

(11.13)

При этом оказывается справедливой формула

dny определение y(n)dxn,

(11.14)

где dxn = (dx)n.
    Формула (11.14) легко доказывается по индукции: при n = 1 она доказана; если она доказана при некотором n, то

Из формулы (11.14) следует, что

y(n) = dny/dxn.

(11.15)

    В силу формулы (11.14) высказывания "функция имеет в точке n производных" и "функция n раз дифференцируема в этой точке" (т. е. у нее существует дифференциал порядка n) равносильны.     Дифференциалы высших порядков dny, n > 2, не обладают свойством инвариантности формы относительно выбора переменных: если, например, z = z(y), y = y(x) - дважды дифференцируемые функции и имеет смысл композиция z(y(x)), то

(11.16)

где, вообще говоря, d2yне равно0. Заметим, что если обе части формулы (11.16) поделить на dx, то в силу (11.15) получится формула (11.8).


Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически  Оглавление   Теорема Ферма