11.3. Дифференциалы высших порядков

    Дифференциал от дифференциала первого порядка

функции y = f(x), рассматриваемого только как функция переменной x (т. е. приращение dx аргумента x предполагается постоянным), при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом d²f(x) функции f в данной точке x. Таким образом,

d²f(x)d(df(x)) = d( f'(x)dx) = d( f'(x))dx = f"(x)dxdx.

Вместо dxdx пишут d²x:

d²f(x) = f"(x)dx².

или

откуда  y" = d²y/dx².
    Аналогично, дифференциалом n-го порядка, n = 2, 3, ..., называется дифференциал от дифференциала порядка n - 1 при условии, что в дифференциалах все время берутся одни и те же приращения dx независимой переменной x:

При этом оказывается справедливой формула

где dxⁿ = (dx)ⁿ.
    Формула (11.14) легко доказывается по индукции: при n = 1 она доказана; если она доказана при некотором n, то

Из формулы (11.14) следует, что

    В силу формулы (11.14) высказывания "функция имеет в точке n производных" и "функция n раз дифференцируема в этой точке" (т. е. у нее существует дифференциал порядка n) равносильны.     Дифференциалы высших порядков dⁿy, n > 2, не обладают свойством инвариантности формы относительно выбора переменных: если, например, z = z(y), y = y(x) - дважды дифференцируемые функции и имеет смысл композиция z(y(x)), то

где, вообще говоря, d²y0. Заметим, что если обе части формулы (11.16) поделить на dx, то в силу (11.15) получится формула (11.8).

Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически  Оглавление   Теорема Ферма