15.1. Признак монотонности функций

    Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательна (неположительна). Если производная функция во всех точках интервала положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает).
Докажем, например, что если на интервале (a,b) производная функции f неотрицательна (f'(x) > 0 для всех x (a,b)), то функция f возрастает на (a,b). Действительно, если x₁ (a,b), x₂ (a,b) и x₁ < x₂, то по теореме Лагранжа

а так как по условию f'() > 0, то из равенства (15.1) следует, что f(x₂) - f(x₁) > 0, т. e.

При этом если для всех x (a,b) выполняется неравенство f'(x) > 0 и, следовательно, в равенстве (15.1) f'() > 0, то f(x₂) - f(x₁) > 0, т. е.

- функция f строго возрастает.
    Пусть теперь функция f возрастает на интервале (a,b) и имеет в точке x₀ (a,b) производную. Возьмем
x > 0, тогда

f(x₀ + x) > f(x₀)

и, следовательно,

Переходя в этом неравенстве к пределу при x0, получим

    Аналогично теорема 1 доказывается для убывающих функций. 
    Замечание 1. Как было показано, условие положительности производной на интервале является достаточным условием строгого возрастания. Отметим, что это условие не является, однако, необходимым условием строгого возрастания. Действительно, например, функция f(x) = x³ строго возрастает на всей числовой оси, однако ее производная f'(x) = 3x² не всюду положительная - она обращается в нуль при x = 0 (рис. 82).

Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов   Оглавление  Локальные экстремумы функций