14.3*. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов

    Пусть функция f представлена в окрестности точки x₀ по формуле Тейлора в виде

f(x) = P(x) + o((x - x₀)),     xx₀

Многочлен Тейлора P(x) (если он не тождественный нуль) называют главной частью функции f в рассматриваемой окрестности. Ее выделение полезно применять для нахождения пределов функций. Покажем на примерах, как это делается.

    Примеры.
    1. Найти [(x - sin x)/x³]. Представим sin x, согласно формуле Тейлора, в виде

sin x = x - x³/6 + o(x⁴),        x0.

В соответствии с теоремой 1 п. 9.3

x - sin x = x - (x - x³/6 + o(x⁴)) = x³/6 + o(x⁴) ~ x³/6,      x0.

Поэтому, применив теорему 2 п. 9.3, получим

    2. Найти .
     Имеем

xcos x = x(1 + o(x)) = x + o(x²),
(1 + 2x)^1/2 = 1 + x - x²/2 + o(x²),
               ln (1 + x) = x - x²/2 + o(x²),      x0.

Поэтому, согласно теоремам 1 и 2 из п. 9.3, с помощью этих соотношений будем иметь

Мы воспользовались здесь тем, что

x²/2 + o(x²) ~ x²/2 и - x²/2 + o(x²) ~ -x²/2,      x0.

    3. Найти предел . Заметив, что = , найдем предел натурального логарифма функции, стоящей под знаком предела, т. е. предел

(ctg² x ln cos x).

Имеем

cos x = 1 - x²/2 + o(x²),      x0.

Поэтому

ln cos x = ln (1 - x²/2 + o(x²)) = - x²/2 + o(x²),      x0.

Далее,

     x0.

Следовательно,

Тем самым найден и искомый предел:

Примеры разложения по формуле Тейлора   Оглавление  Признак монотонности функций