15.2. Локальные экстремумы функций.

    Пусть функция  f задана на некотором множестве X R и x₀ X.
    Определение 1. Точка x₀ называется точкой локального максимума (минимума) функции f, если существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что для всех x X U(x₀) выполняется неравенство

f(x) < f(x₀)    (соответственно f(x) > f(x₀))

    Если для всех x X U(x₀) и x x₀ выполняется неравенство f(x) <  f(x₀) (соответственно f(x) >  f(x₀)), то точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума).
    В дальнейшем для простоты точки (строгого) локального максимума и минимума функции будем кратко называть ее точками (строгого) максимума и минимума. Точки максимума и минимума (строгого) функции называют ее точками экстремума (строгого).
    Из теоремы Ферма (см. п. 12.1) для функций, определенных в некоторой окрестности точки, сразу следует необходимое условие локального экстремума в этом точке.

    Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке локального экстремума производную, то эта производная равна нулю.
    Действительно, из того, что у функции в точке существует производная, следует, что функция определена в некоторой окрестности этой точки, а так как эта точка является точкой локального экстремума, то ее окрестность можно выбрать так, что сужение на выбранную окрестность функции примет в рассматриваемой точке наибольшее или наименьшее значение. Из теоремы Ферма, примененной к указанному сужению функции, следует, что если в указанной точке производная существует, то она равна нулю. 

    Замечание 2. Напомним, что под производной всегда понимается конечная производная, если специально не оговорено, что допускаются и бесконечные производные (см. п. 10.1). Из комментариев к теореме Ферма (замечание 1 в п. 12.1) следует, что в точке локального экстремума может существовать знаконеопределенная бесконечная производная, но не может существовать бесконечная производная определенного знака. Может случиться, что в точке локального экстремума вообще не существует производной - ни конечной, ни бесконечной (см. рис. 77).
    Отметим, что условия равенства нулю производной или ее несуществования в данной точке, будучи необходимыми условиями экстремума, не являются достаточными условиями для наличия экстремума в этой точке. Например, у функции  f(x) = x³ производная  f '(x) = 3x² в точке x = 0 равна нулю, а экстремума в этой точке нет (рис. 82).

    Определение 2. Если функция определена в некоторой окрестности точки x₀ и в этой точке производная функции либо существует и равна нулю, либо не существует, то точка x₀ называется критической точкой этой функции.
    Критические точки функции, в которых производная функции равна нулю, называются также и стационарными точками.
    Теорема 2 означает, что все точки локального экстремума функции находятся среди множества ее критических точек.

    Определение 3. Точка x₀ называется точкой возрастания (убывания) функции  f, если у x₀ существует такая окрестность U(x₀), что приx X U(x₀),   и x < x₀, выполняется неравенство f(x) <  f(x₀) (соответственно f(x) >  f(x₀)), а при x >  x₀ - неравенство f(x) >  f(x₀) (соответственно f(x) <  f(x₀)).
    Если при xx₀ выполняется, кроме того, неравенство f(x)f(x₀), то точка x₀ называется точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции f.
    Точки строгого экстремума, точки строгого возрастания и убывания удобно описывать в терминах знака приращения

функции f. В точке строгого максимума приращение функции в некоторой окрестности этой точки имеет отрицательное значение при x0, в точке строгого минимума - положительное, в точке строгого возрастания при x < 0 - отрицательное, при x > 0 - положительное, а в точке строгого убывания - положительное при x < 0 и отрицательное при x > 0 (рис. 83). Конечно, здесь всегда предполагается, что приращение аргумента x таково, что точка x₀ + x принадлежит области определения X функции f. Таким образом, при переходе через точку строгого экстремума x₀ (т. е. при изменении знака приращения аргумента x) приращение функции не меняет знака, а при переходе через точки строгого возрастания и убывания меняет знак. Нетрудно сформулировать в терминах знака производной в точке достаточные условия того, что эта точка является точкой строгого возрастания или убывания (в этом случае согласно определению производной функция заведомо определена в некоторой окрестности рассматриваемой точки).

Точка строгого возрастания	Точка строгого убывания	Точка строгого максимума	Точка строгого минимума
Рис. 83

    Лемма. Если в точке конечная или бесконечная производная положительна (соответственно отрицательна), то эта точка является точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции.
Если функция f имеет в точке x₀ положительную производную

то для всех достаточно малых x выполняется неравенство

Отсюда следует, что при x < 0 имеет место y < 0, а при x > 0 также и y > 0, т. е. точка x₀ является точкой строгого возрастания.
    Аналогично рассматривается случай f'(x₀). 
    Таким образом, если в точке x₀ существует не равная нулю производная (конечная или определенного знака бесконечная), то эта точка является либо точкой строгого возрастания, либо точкой строгого убывания, а следовательно, не может быть точкой экстремума. Тем самым мы еще раз доказали, что если в точке экстремума существует конечная или определенного знака бесконечная производная, то она равна нулю (см. теорему 1 в п. 12.1). Отметим, что доказанная лемма дает лишь достаточные, но не необходимые условия для точек строгого возрастания и строгого убывания функций, имеющих в этих точках конечные или бесконечные производные. Это видно уже на примере функции f(x) = x³, у которой точка x = 0  является точкой строгого возрастания, а производная в ней равна нулю: f'(0) = 0 (см. рис. 82).
    Замечание 3. Аналогично лемме нетрудно доказать, что если в точке производная, конечная или бесконечная, неотрицательна (неположительна), то эта точка является точкой возрастания (соответственно убывания) функции, но, вообще говоря, нестрогого.
    Отметим, что у функции, равной тождественно постоянной на множестве ее задания, все точки этого множества являются как точками экстремума, так и точками возрастания и убывания функции.
    Все это делает целесообразным введение понятий как точек экстремума, точек возрастания и убывания функции, так и точек строгого экстремума, точек строгого возрастания и строгого убывания функции.

    Теорема 3. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки, дифференцируема в ее проколотой окрестности, и производная с каждой стороны от рассматриваемой точки сохраняет один и тот же знак.
    Для того чтобы функция в этой точке имела строгий максимум (строгий минимум), необходимо и достаточно, чтобы при переходе через нее производная меняла знак с плюса на минус (соответственно с минуса на плюс).
    Для того чтобы эта точка была точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции, необходимо и достаточно, чтобы производная с обеих сторон от рассматриваемой точки была положительной ( отрицательной).
    Таким образом, образно говоря, в условиях теоремы точка является точкой строгого максимума (строгого минимума) функции тогда и только тогда, когда в этой точке строгое возрастание (строгое убывание) функции сменяется ее строгим убыванием (соответственно строгим возрастанием). Подобным образом точка является точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции тогда и только тогда, когда с обеих сторон от этой точки функция строго возрастает (соответственно строго убывает) (см. теорему 1).
Пусть функция f непрерывна в окрестности U(x₀) точки x₀, дифференцируема в проколотой окрестности
(x₀) и производная сохраняет постоянный знак во всех точках проколотой окрестности (x₀), лежащих с каждой стороны от точки x₀. Для любой точки x (x₀), согласно формуле Лагранжа, имеем y = f'()x, где точка  лежит между точками x₀ и x = x₀ + x. Таким образом,

    Поэтому если производная f'(x) меняет знак с плюса на минус при переходе через точку x₀:
f'(x) > 0 при x < 0 и f'(x) < 0 при x > 0, то при x < 0 и при x > 0. Отсюда y < 0 при всех x, x₀ + x (x₀), т. е. приращение функции y не меняет знака при переходе через точку x₀ и является отрицательным. Это означает, что точка x₀ является точкой строгого локального максимума.
   Аналогично, из формулы (15.9) следует, что если производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x₀, то при x < 0 и при x > 0, а поэтому при переходе через точку x₀ приращение функции y не меняет знака и положительно. Это означает, что точка x₀ является точкой строгого локального минимума.
    Если производная f'(x) не меняет знака при переходе через точку x₀, то из формулы (15.9) следует, что и отношение y/x также не меняет знака при переходе через эту точку и его знак совпадает со знаком производной. Поэтому если f'(x) > 0, x (x₀), то y < 0 при x < 0 и y > 0 при x > 0, т. е. точка x₀ является точкой строгого возрастания, а если f'(x) < 0, x (x₀), то аналогично получаем, что точка x₀ является точкой строгого убывания. 
    Мы доказали, что каждое из рассмотренных условий о знаке производной с разных сторон от точки x₀ является достаточным условием соответственно для строгого локального максимума, строгого локального минимума, строгого возрастания или убывания функции в точке. Поскольку были рассмотрены все возможные случаи знаков производной с каждой стороны от точки x₀, то все сформулированные условия являются не только достаточными, но и необходимыми для соответствующих утверждений (рис. 84).

Рис. 84

    Следует обратить внимание на то, что рассмотренным здесь случаем, когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака (а поэтому можно говорить об изменении знака производной при переходе через точку), не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x₀ или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум. Таким образом, в более широком классе функций, дифференцируемых в окрестности рассматриваемой точки, кроме, быть может, самой этой точки, условие изменения знака производной в данной точке является лишь достаточным условием экстремума.
    Докажем еще одни достаточные условия для точек строгого экстремума и точек строгого возрастания (строгого убывания) в терминах производных любого порядка в данной точке. Эти условия для точек строгого возрастания и убывания обобщают условия, указанные в приведенной выше лемме. Для задачи же об экстремумах они представляют собой принципиально новый подход к отысканию точек экстремума, имеющий широкие обобщения.

    Теорема 4. Пусть функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке x₀, n > 1 и

    Тогда если n = 2m, m N, т. е. n - четное число, то функция f имеет в точке x₀ строгий экстремум, а именно строгий максимум при f^(2m)(x₀) < 0 и строгий минимум при f^(2m)(x₀) > 0.
    Если же n = 2m - 1, m N, т. е. n - нечетное число, то функция f не имеет в точке x₀ экстремума; в этом случае при f^(2m-1)(x₀) > 0 точка x₀ является точкой строгого возрастания функции f, а при f^(2m-1)(x₀) < 0  - ее точкой строгого убывания.
    Предпошлем доказательству одно простое замечание: если (x) = o((x)), xx₀, где функции и заданы в некоторой окрестности точки x₀ R, то существует такая окрестность U(x₀) этой точки, что при
x U(x₀) справедливо неравенство

В самом деле,

где (x) = 0, и, следовательно, существует такая окрестность U(x₀), что при x U(x₀) выполняется неравенство

Из (15.12) и (15.13) следует неравенство (15.11).
Напишем формулу Тейлора порядка n для функции f в окрестности точки x₀ (см. п. 14.1). В силу условий (15.10) будем иметь

Так как f⁽ⁿ⁾(x₀)0, то

    x0,

т. е. второй член правой части равенства (15.14) является бесконечно малым по сравнению с первым. Поэтому, согласно (15.11), существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, что при x U(x₀) для функции o(xⁿ) в формуле (15.14) выполняется неравенство

и, следовательно, при достаточно малых x знак правой части равенства (15.14), а потому и знак приращения функции y, совпадает со знаком первого слагаемого правой части.
    Если n = 2k, то в формуле (15.14) приращение аргумента x возводится в четную степень, поэтому знак приращения функции y не зависит от знака x0 и, следовательно, x₀ является точкой строгого экстремума, причем строгого максимума при f^(2k)(x₀) < 0 (в этом случае y < 0, x0) и строгого минимума при   f^(2k)(x₀) > 0 (в этом случае y > 0, x0).
    Если же n = 2k - 1, то x возводится в нечетную степень, и поэтому знак y меняется вместе с изменением знака x, следовательно, точка x₀ не является точкой экстремума. Если x меняет знак с минуса на плюс, то при f^(2k-1)(x₀) > 0 приращение y также меняет знак с минуса на плюс и, следовательно, x₀ является точкой возрастания функции f, а при   f^(2k-1)(x₀) < 0 приращение y меняет знак с плюса на минус и, следовательно, точка x₀ является точкой убывания функции f. 

Минимум	Максимум
Рис. 85

    Отметим специально частный случай теоремы 4 при n = 2.
    Если f'(x) = 0, а f"(x) > 0, то точка x₀ является точкой строгого минимума, а если f'(x) = 0, а f"(x) < 0, (рис.85), то - точкой строгого максимума.
Подчеркнем, что все условия экстремума, полученные в этом параграфе, относятся к внутренним точкам промежутка, на котором была определена функция. На концах промежутка требуется проводить отдельные исследования и при применении методов дифференциального исчисления использовать в концевых точках понятие односторонних производных (см. п. 10.1).

Признак монотонности функций   Оглавление  Выпуклость и точки перегиба