15.5*. Построение графиков функций

    С помощью развитого в этом параграфе математического аппарата можно изучать поведение функций и строить их графики. Общее изучение заданной функции целесообразно проводить в следующем порядке.

  1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва.
  2. Найти асимптоты.
  3. Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции.
  4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производные (без производных более высокого порядка обычно удается обойтись). Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю. Составить таблицу изменения знака первой и второй производных.
  5. Определить интервалы возрастания, убывания, выпуклости
    вверх и вниз функции, найти точки экстремума (в том числе и концевые) и точки перегиба.
  6. Окончательно вычертить график.

    В результате, действуя подобным образом, мы, как правило, сумеем провести лишь качественное исследование заданной функции, так как, например, для нахождения точек экстремума согласно теореме 2 надо решить уравнение f'(x) = 0, а может оказаться, что точные значения корней этого уравнения мы не сумеем найти, а сумеем лишь с большей или меньшей точностью найти интервалы, где они находятся. В этом случае методы математического анализа позволяют, вообще говоря, осуществлять лишь качественное изучение поведения функции, а их количественное изучение осуществляется с помощью численных методов, возможности которых существенно расширяет использование современных вычислительных машин.
     Пример. Построить график функции

f(x) = .

(15.26)

    Функция f определена и непрерывна на всей числовой оси, поэтому у нее нет вертикальных асимптот. Поскольку [f(x)/x] = = +бесконечность, то у нее нет и наклонных асимптот.

Рис. 88
Рис. 88

Рис. 89
Рис. 89

    Функция f неотрицательна при положительных значениях аргумента x и отрицательна при его отрицательных значениях; f(0) = f(1) = 0;

f(x) = +бесконечность,        f(x) = -бесконечность,

Легко видеть, что f(x) ~ x при x0, f(x) ~ x5/3
как при x+бесконечность, так и при x-бесконечность.

    На основе полученных данных можно построить эскиз графика функции (15.26) - он изображен на рис. 88. Для уточнения вида графика вычислим первую и вторую производные функции (15.26): 


    Поскольку  и производная в точке f'(3/5) = 0 меняет знак с плюса на минус (отметим, что в достаточно малой окрестности точки x = 3/5 знаменатель у выражения для f'(x) отрицателен), то эта точка является точкой максимума, что соответствует виду графика на рис. 88
В точке x = 1 существует бесконечная производная, поэтому график функции (15.26) имеет в точке(1,0) вертикальную касательную.
Наконец, f"(6/5) = 0 и в точке x = 6/5 вторая призводная меняет знак. Это означает, что точка  является точкой перегиба. Принимая во внимание все дополнительные исследования, можно существенно уточнить вид графика функции (15.26). Уточненный вид графика этой функции изображен на рис. 89.

Асимптоты  Оглавление  Предел и непрерывность векторной функции