16.1. Предел и непрерывность векторной функции

    В этом параграфе будут изучаться функции, значениями которых являются векторы, а аргументами - числа. Такие функции называют вектор-функциями или векторными функциями (числового аргумента). Они обозначаются жирным шрифтом: r(t), или с помощью черты над значениями функции: (t), t X, где X - некоторое числовое множество.
    В этом определении в зависимости от рассматриваемых задач под векторами r(t) могут пониматься как свободные векторы, так и векторы с закрепленными началами. Если начала всех векторов закреплены в одной и той же точке (обычно - начало координат), то такие векторы называются радиус-векторами.
    Если в трехмерном евклидовом пространстве задана прямоугольная система координат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел - его координат и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор, для которого числа, входящие в эту тройку, являются его координатами. Поэтому задание вектор-функции r(t), t X, эквивалентно заданию трех скалярных, т. е. числовых, функций x(t), y(t), z(t), t X, являющихся его координатами:

r(t) = (x(t), y(t), z(t)),     t X.

Длина (абсолютная величина) всякого вектора a, обозначается |a| скалярное произведение векторов a и b - через ab или (a,b), а векторное - через a x b или [a,b].
    Определим понятия предела, непрерывности, производной и дифференциала для векторных функций.
    Определение 1. Вектор a называют пределом вектор-функции r(t), t X, при t t₀ (или в точке t =  t₀) и пишут

если

    В этом определении |r(t) - a| - числовая функция. Таким образом, понятие предела векторной функции сводится к понятию предела скалярной функции. Вспомнив определение этого понятия, получим, что (16.1) означает, что для любого > 0 существет такое > 0, что для всех

выполняется неравенство

    Как и в случае скалярных функций, будем предполагать, что t₀ является точкой прикосновения (конечной или бесконечно удаленной) множества X. Если t₀ - конечная точка, то условие (16.3) можно записать в виде

а если t₀ - одна из бесконечно удаленных точек , + или -, то соответственно в одном из следующих трех видов:

и, конечно, всегда t X.
    Если начало всех векторов r(t) поместить в одну точку (например, в начало координат), то условие (16.4) будет означать, что концы всех векторов r(t) при t X U(t₀,) лежат в шаре радиуса с центром в конце вектора a (рис. 90).
Если r(t) = (x(t), y(t), z(t)) и a = (a₁,a₂,a₃),
то

и, следовательно

Поэтому предел

векторной функции r(t) существует в том и только том случае, когда существуют пределы ее координат

    Действительно, в силу соотношений (16.7) и (16.8) для того, чтобы выполнялось условие (16.2), необходимо и достаточно, чтобы

|x(t) - a₁| = 0,   |y(t) - a₂| = 0,   |z(t) - a₃| = 0.

    Аналогично случаю числовых функций, если t₀ X и на множестве X существует предел r(t), то этот предел равен значению функции r(t) в точке t₀: r(t) = r(t₀).
    Определение 2. Если t₀ - конечная точка и для функции r(t), t X, имеет место равенство

то эта функция называется непрерывной в точке t₀.
    Как и в случае скалярных функций, условие (16.11) выполняется тогда и только тогда, когда существует r(t) и t₀ X.
    Если положить t = t - t₀, r = r(t₀ + t) - r(t₀), то условие (16.11) примет вид r = 0.
    Из эквивалентности условий (16.9) и (16.10) следует, что векторная функция непрерывна в некоторой точке тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все ее координатные функции.
    Отметим основные свойства пределов векторных функций.
    1^o. Если r(t) = a, то |r(t)| = |a|. Это непосредственно следует из неравенства ||r - ||a|| < |r - a|.
Геометрический смысл этого неравенства состоит в том, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины его третьей стороны.
    2^o. [r₁(t) + r₂(t)] = r₁(t) +r₂(t).
    3^o. f(t)r₁(t) = f(t)r₁(t) ( f(t) - скалярная функция).
    4^o. r₁(t)r₂(t) = r₁(t)r₂(t).
    5^o. r₁(t) x r₂(t) = r₁(t) xr₂(t).
    В свойствах 2^o-5^o все рассматриваемые функции определены на некотором множестве x R; предполагается, что все пределы, входящие в правые части равенств, существуют, и утверждается, что существуют пределы, стоящие в левых частях, причем имеют место написанные формулы. Все эти свойства доказываются методом, аналогичным методу, которым доказывались свойства пределов скалярных функций в п. 6.7.
Докажем в качестве примера свойство 5^o. Заметим предварительно, что для любых двух векторов p и q справедливо неравенство

Поэтому если p = p(t), q = q(t), причем |p(t)| = 0, а |q(t)| - ограниченная функция, то в силу неравенства (16.12)

Пусть теперь r₁(t) = a, r₂(t) = b. Положим

тогда, согласно (16.2),

Преобразуем произведение r₁(t) x r₁(t) с помощью формул (16.14):

Здесь в силу (16.13)

|a x (t)| = |(t) x b| = |(t) x (t)| = 0,

а так как

|a x (t) + (t) x b + (t) x (t)| < |a x (t)| + |(t) x b| + |(t) x (t)|,

то |a x (t) + (t) x b + (t) x (t)| = 0.
    Отсюда в силу (16.16) имеем |r₁(t) x r₁(t) - a x b| = 0, что согласно определению 1 (см. (16.2)) и доказывает свойство 5^o. 
    Из свойств пределов векторных функций и определения их непрерывности следует, что сумма, скалярное и векторное произведения векторных функций, а также произведение скалярных функций на векторные непрерывны в некоторой точке, если в этой точке непрерывны все слагаемые или соответственно сомножители.

Построение графиков функций  Оглавление  Производная и дифференциал векторной функции