16.2. Производная и дифференциал векторной функции

    Пусть векторная функция r(t) задана в некоторой окрестности точки t₀; тогда соотношение   определено в соответствующей проколотой окрестности точки t₀.
    Определение 3. Предел (если он, конечно, существует) называется производной векторной функции r(t) в точке t₀ и обозначается r'(t₀) или (t₀)
    Если положить t = t - t₀, r = r(t) - r(t₀) = r(t₀ + t) - r(t₀), то

Пусть r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Так как

то в силу (16.9), (16.10) для того, чтобы векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t)) имела производную в точке t₀, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты x(t), y(t), z(t) имели производные в точке t₀, причем в этом случае

    Производную r'(t) вектор-функции r(t) называют также скоростью изменения вектора r(t) относительно параметра t. В случае когда длина вектора r(t) не меняется, производная r'(t) называется также и скоростью вращения вектора r(t), а ее абсолютная величина - численным значением скорости его вращения.
    Замечание 1. По аналогии со случаем скалярных функций векторную функцию (t), t X, называют бесконечно малой по сравнению со скалярной функцией (t), t X, при tt₀ и пишут (t) = o((t)), tt₀, если существует векторная функция (t), определенная на том же множестве X, что и функции (t), (t), такая, что в некоторой окрестности точки t = t₀ имеет место равенство (t) = (t)(t), t X, и

(t) = 0.

Как и для скалярных функций, если t₀ X, то функция (t) непрерывна в точке t₀, и потому (t₀) = 0.
    Замечание 2. Вектор-функция аргумента t называется линейной, если она имеет вид at + b, где a и b - какие-либо два фиксированных вектора.
    После этих вводных замечаний можно определить понятие дифференцируемости и дифференциала вектор-функции.
    Определение 4. Вектор-функция r(t), заданная в некоторой окрестности точки t₀, называется дифференцируемой при t = t₀, если ее приращение r = r(t₀ + t) - r(t₀) в точке t₀ представимо в виде

    При этом линейная вектор-функция at приращения аргумента t называется дифференциалом функции r(t) в точке t₀ и обозначается через dr, т. е. dr = at.
    Таким образом,

Здесь функция o(t) определена при t = 0; в этой точке она равна нулю:

Следовательно, если представить эту функцию o(t) в виде (см. замечание 1) o(t) = (t)t, то функция
(t) также будет определена при t = 0, а поэтому, как было отмечено выше, в этом случае (0) = 0. Благодаря этому здесь предел

рассматривается не по проколотой, а по целой окрестности точки t = 0.
    Формулу (16.19) теперь можно записать в виде

    Докажем несколько простых утверждений о дифференцируемых векторных функциях, аналогичных соответствующим утверждениям для скалярных функций.
    I. Если векторная функция r(t) дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

    II. Если векторная функция r(t) дифференцируема в точке t₀, то она имеет в этой точке производную и

r'(t) = a,

где вектор a определяется формулой (16.19).

    Верным является и обратное утверждение.
    III. Векторная функция, имеющая в некоторой точке производную, дифференцируема в этой точке.
    Если существует производная r'(t₀) = (r/t) и, следовательно, r'(t₀) = r/t + (t), t0, где
 , то

r = r'(t₀) + (t)t.

    Полагая (0) = 0, получим, что условие (t) выполняется и без ограничения t0.
    Таким образом, имеет место (16.22) при a = r'(t₀), т. е. функция r(t) дифференцируема в точке t₀ и

dr(t₀) = r'(t₀)t.   

    По определению считается, что dt t. Поэтому (опуская для простоты обозначения аргумента) имеем dr = r'dt, или r' = dr/dt.
    IV. Если t = t() - дифференцируемая в точке ₀ числовая функция, а r(t) - дифференцируемая в точке
t₀ = t(₀) векторная функция, то сложная функция r(t()) дифференцируема в точке ₀ и

или, короче

Из соотношения (16.22) имеем при 0

    По условию функция t = t() дифференцируема в точке ₀, т. е. существует конечный предел

Отсюда следует, что эта функция в рассматриваемой точке непрерывна:

t = 0.

Отсюда и из условия (16.21) вытекает, что (t) = 0. 
    Из всего сказанного следует, что при 0 правая часть равенства (16.24), а следовательно, и его левая часть имеют конечные пределы. Это означает, что в точке ₀ существует производная и что

    Из формулы (16.23) аналогично случаю скалярных функций вытекает инвариантность записи дифференциала векторной функции: как для зависимой переменной t, так и для независимой имеем

т. е. чтобы из второй формулы получить первую, надо подставить во вторую формулу и заметить, что .
    V. Для производных вектор-функций имеют место формулы, аналогичные соответствующим формулам для скалярных функций:

(r₁ + r₂)' = r'₁ + r'₂,
(fr)' = f'r + fr',
(r₁r₂)' = r'₁r₂ + r₁r'₂,
(r₁ x r₂)' = r'₁ x r₂ + r₁ x r'₂.

    Здесь все производные берутся в одной и той же точке. Предполагается, что производные, стоящие в правой части каждого равенства, существуют, и утверждается, что в этом случае существуют и производные, находящиеся в левых частях равенств.
Доказываются эти формулы аналогично скалярному случаю. Докажем, например, последнюю из них.
    Заметив, что r₁(t₀ + t) = r₁(t₀) + r₁, r₂(t₀ + t) = r₂(t₀) + r₂, получим

    Для дальнейшего нам будет полезна следующая
    Лемма. Если вектор-функция r(t) дифференцируема в точке t₀ и все векторы r(t) имеют одну и ту же длину в некоторой окрестности точки t₀, то производная r'(t₀) ортогональна вектору r(t₀):
Действительно, если в указанной окрестности |r(t)| = c, где c - константа, то |r|² = c², т. е. r² = c. Дифференцируя это равенство, получим 2rr' = 0, что равносильно равенству (16.27). 
    Утверждение леммы содержательно лишь в случае, когда r'(t₀) 0 (если r'(t₀) = 0, то условие (16.27), очевидно, выполняется и без условия постоянства длины вектора r(t)). В этом случае физический смысл формулы (16.27) состоит в том, что у материальной точки, движущейся по поверхности шара (r(t) - радиус-вектор этой точки, t - время движения, c - радиус указанного шара), скорость v = dr/dt всегда направлена при v0 по касательной к поверхности шара, т. е. перпендикулярно радиусу шара.
    Производные высших порядков для вектор-функции определяются по индукции: если у вектор-функции r(t) в некоторой окрестности точки t₀ задана производная r⁽ⁿ⁾(t) порядка n, n = 0, 1, 2, ... (r⁽⁰⁾(t)r(t)), то производная порядка n + 1 в этой точке (если эта производная, конечно, существует) определяется по формуле

    Если векторная функция имеет в некоторой точке n производных, то говорят также, что она в этой точке n раз дифференцируема. Можно и для векторных функций по аналогии со скалярными ввести понятие дифференциалов высших порядков, но не будем на этом останавливаться.
    Если векторная функция r(t) = (x(t), y(t), z(t))  n раз дифференцируема в точке t = t₀, то в некоторой окрестности этой точки для функции r(t) имеет место формула

  t0.

называемая по аналогии со скалярным случаем формулой Тейлора (порядка n) функции r(t) с остаточным членом в виде Пеано. Эта формула непосредственно следует из разложений по формуле Тейлора координат x(t), y(t), z(t) векторной функции r(t).
    Из всего сказанного видно, что рассмотренные определения и утверждения для векторных функций получаются перенесением соответствующих определений и утверждений из теории скалярных функций.
    Замечание 3. Следует, однако, иметь в виду, что не все, что справедливо для скалярных функций, имеет прямой аналог в векторном случае. Это относится, например, к теореме Ролля, а следовательно, и к теореме Лагранжа, частным случаем которой является теорема Ролля.
    В самом деле, рассмотрим дифференцируемую векторную функцию r(t) = (cos t, sin t), 0 < t < 2 (третья координата функции r(t) - тождественный нуль). Поскольку r'(t) = (-sin t, cos t), то |r'(t)| = (sin² t + cos² t)^1/2 = 1 при любом t [0,2], и, следовательно, не существует такой точки , для которой было бы r'() = 0, несмотря на то, что r(0) = r(2).
    Для векторных функций вместо прямого аналога теоремы Лагранжа можно доказать нижеследующую теорему 1.
    Ее формулировке и доказательству предпошлем два замечания.
    Замечание 4. Если вектор x ненулевой и x₀ - единичный вектор в направлении вектора x, т. е. x₀ = x/|x|, то

    В самом деле, согласно определению скалярного произведения

Здесь по условию |x₀| = 1, а = 0  и, следовательно, cos = 1, т. е. равенство (16.29) превращается в равенство (16.28).
    Замечание 5. Для любых векторов x и y имеет место неравенство

Действительно,

xy < ||x||y|cos| = |x||y||cos| < |x||y|.  

    Теорема 1. Если вектор-функция r(t) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема внутри него, то существует такая точка  (a,b), что

Если r(a) = r(b), то неравенство (16.31) справедливо при любом выборе точки (a,b), так как его левая часть обращается в нуль.
    Пусть r(a)  r(b) и, следовательно, r(b) - r(a) 0. Если e - единичный вектор в направлении вектора r(b) - r(a), то согласно замечанию 4

|r(b) - r(a)| = (r(b) - r(a))e = r(b)e - r(a)e,

т. е. получилась разность значений скалярной функции

на концах отрезка [a,b]:

    Из формулы (16.32) следует, что функция f непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех его внутренних точках, ибо согласно условиям теоремы этими свойствами обладает функция r(t). Поэтому в силу формулы конечных приращений Лагранжа существует такая точка (a,b), что f(b) - f(a) = f'()(b - a). Но согласно правилу дифференцирования скалярного произведения имеем f'(t) = r(t)e, вследствие чего

Поскольку в силу неравенства (16.30) имеет место неравенство

то

Неравенство (16.31) доказано. 

Предел и непрерывность    Оглавление   Понятие кривой