18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой

    Важной характеристикой кривой является ее кривизна. Определим это понятие.

    Определение 1. Абсолютная величина (длина) скорости вращения единичного касательного вектора к кривой в данной ее точке относительно переменной длины дуги называется кривизной кривой в этой точке.
    Если Г = {r(t); a < t < b} - гладкая кривая, a s = s(t) - переменная длина ее дуги, отсчитываемая от начала кривой Г, то вектор

является единичным касательным вектором (теорема 3 в п. 17.3) к кривой Г. Поэтому кривизна кривой в данной ее точке, обозначаемая обычно через k, согласно данному определению задается формулой

Отсюда в силу соотношения (18.1) следует, что

Из этой формулы видно, что определение (18.2) имеет смысл тогда, когда функция r(s) является по крайней мере дважды дифференцируемой.
    Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны кривой в данной точке и обозначается через R. Таким образом,

    Пример. Покажем, что для окружности ее радиус совпадает с радиусом кривизны, и поэтому ее кривизна одна и та же во всех точках и равна обратной величине радиуса.
    Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке O. Пусть A - фиксированная точка окружности. Угол , образованный радиусом-вектором r некоторой точки окружности (обозначим ее B) с осью OA и угол, образованный единичным касательным к окружности в точке B вектором с касательным вектором в точке A, равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами (рис. 95).
Если s -длина дуги окружности, отсчитываемая от точки A в направлении возрастания угла , то = s/R и, следовательно,

    Для единичной окружности длина ее дуги совпадает со значением соответствующего ей угла , и так как
|| = 1, то

Поэтому для окружности радиуса R имеем

Определение длины кривой. Спрямляемые кривые    Оглавление  Формула для кривизны