Пусть
Г = {r(t); a < t < b} |
(18.8) |
- дважды дифференцируемая кривая без особых точек. Тогда существует дважды непрерывно дифференцируемое преобразование параметра t к переменной длине s дуги кривой Г: t = t(s), 0 < s < SГ (см. замечание 2 в п. 17.3), причем
вектор 
= dr/ds
является единичным касательным к кривой Г
вектором и имеет производную
d |
(18.9) |
а следовательно, для рассматриваемой кривой в
каждой ее точке определена кривизна k (см.
(18.2)) и для нее справедлива формула (18.3).
Теорема 1. Если Г = {r(t);
a < t < b} -
дважды дифференцируемая кривая без особых точек,
то в каждой точке кривой существует кривизна k
и для нее справедлива формула
|
(18.10) |
Штрихом здесь и в дальнейшем
обозначаются производные по параметру t,
производные же по длине дуги будут обозначаться
через d/ds.
Касательный вектор = dr/ds единичный,
т. е. имеет постоянную длину, равную единице.
Поэтому его производная d/ds
ему перпендикулярна (см. лемму
из п. 16.2). Длина векторного произведения x d/ds равна произведению длин
сомножителей || = 1 и 
на значение синуса угла между ними,
т. е. на единицу, так как указанный угол прямой.
Поэтому
| |
(18.11) |
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
|
(18.12) |
|
(18.13) |
Следовательно,
|
(18.14) |
ибо r' x r' = 0.
Из формулы (18.10) можно получить формулу, выражающую кривизну через производные координатных функций: если i, j и k - единичные векторы координатных осей переменных x, y, z и
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, |
(18.15) |
то
| r' = x' i + y' j + z' k, r" = x" i + y" j + z" k, | (18.16) |
| |r'| = (x' 2 + y' 2 + z' 2)1/2, | (18.17) |
|
(18.18) |
откуда
|r' x r"| = ((y'z" - y"z')2 + (z'x" - z"x')2 + (x'y" - x"y')2)1/2. |
(18.19) |
Подставив (18.17) и (18.19) в формулу (18.10), получим искомое выражение для кривизны.
