18.4. Центр кривизны. Эволюта

    Определение 5. Точка пространства, находящаяся на расстоянии, равном радиусу кривизны от точки кривой в направлении вектора главной нормали, называется центром кривизны кривой в рассматриваемой точке этой кривой.
    Пусть R - радиус кривизны кривой Г в точке M₀. Если - радиус-вектор центра кривизны M, а r, как обычно, есть радиус-вектор данной точки M₀ кривой, то (рис. 98) = r + R, или, что тоже самое (см. (18.4) и (18.21)),

    Найдем выражение вектора через производные векторной функции r по произвольному параметру t.
     Подставив в формулу (18.26) выражение для d²r/ds²  через производные по  t (см. (18.13)) и выражение для кривизны

получим , а так как (предполагается, что при возрастании параметра t длина дуги s = s(t) также возрастает), то

где s' = |r'| = (x' ² + y' ² + z' ²)^1/2, поэтому

    Формулу (18.27) можно рассматривать как векторное представление некоторой кривой, точками носителя которой являются центры кривизны данной кривой. Эта кривая называется эволютой данной кривой.

Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость   Оглавление   Кривизна и эволюта плоской кривой