18.3. Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость

    Для того чтобы изучить расположение кривой относительно ее касательной в окрестности точки касания, полезно ввести понятие главной нормали.
    Определение 2. Если в некоторой точке кривой ее кривизна не равна нулю (k0), т. е. существует производная d/ds0, то единичный вектор в направлении вектора d/ds называется вектором главной нормали (короче, главной нормалью) и обозначается через . Так как |d/ds| = k (см. (18.2)), то

    Эта формула называется формулой Френе.
    То, что вектор называется нормалью, оправдывается тем обстоятельством, что вектор как вектор, параллельный производной d/ds единичного вектора , перпендикулярен касательному вектору  (см. лемму в п. 16.2).
    Отметим два свойства главной нормали.
    1^o. Направление главной нормали не зависит от выбора ориентации кривой.
    В самом деле, если  - переменная длина дуги кривой Г, отсчитываемая в противоположном, чем длина дуги s, направлении, и, следовательно, если = S_Г - s, то, заметив, что d/ds =-1, получим

а поэтому

    Таким образом, вектор d/ds = d²r/ds² не зависит от выбора начала отсчета дуг на кривой, т. е. не зависит от ее ориентации. Главная нормаль

имеет то же направление, что и вектор d/ds, поэтому она тоже не зависит от ориентации кривой.
    2^o. Главная нормаль с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем s², s0, направлена в сторону отклонения кривой от касательной (рис. 96). Разложим векторную функцию r = r(s) в окрестности точки s₀ по формуле Тейлора:

Отсюда, вспомнив, что

получим

    Поскольку ks²/2 > 0, то разность r -s, т. е. отклонение кривой от касательной, с точностью до o(s²), s0, направлена по вектору :

r -s = ks²/2 + o(s²),    s0.

    Определение 3. Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перепендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору , называется главной нормалью.
    Таким образом, главной нормалью называют как вектор , так и параллельную ему прямую, проходящую через соответствующую точку кривой.
    Определение 4. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью в этой точке.
    Эта плоскость обладает тем свойством, что дважды непрерывно дифференцируемая кривая в окрестности каждой своей точки, в которой кривизна не равна нулю, лежит "почти" в соприкасающейся плоскости. Это означает, что конец радиус-вектора r(s₀ + s) отстоит от конца радиус-вектора r(s₀) + s + ks²/2, лежащего, очевидно, на соприкасающейся плоскости, на величину, бесконечно малую по сравнению с s². Это сразу следует из равенства (18.22):

r(s₀ + s) - (r(s₀) + s + ks²/2) = o(s²).

    В силу определения соприкасающаяся плоскость однозначно определена для точек, в которых кривизна
k0. Напишем уравнение этой плоскости для кривой, заданной произвольным дважды дифференцируемым векторным представлением r = r(t).
    Как всегда, производные по переменной t будем обозначать штрихом, а производные по длине дуги s - символом d/ds. Дифференцируя векторную функцию r = r(t) как композицию функций r = r(s) и s = s(t), получим

    Таким образом, векторы r' и r" являются линейными комбинациями векторов и и, следовательно, также параллельны соприкасающейся плоскости. В силу же условия k0 выполняется неравенство |r' x r"|0  (см. (18.10)), поэтому векторы r' и r" не коллинеарны, а тем самым однозначно определяют параллельную им плоскость, проходящую через заданную точку.
    Обозначим теперь через r₀, r'₀, и r"₀ радиус-векторы r, r', и r", соответствующие некоторой фиксированной точке данной кривой, а через обозначим текущий радиус-вектор соприкасающейся плоскости в этой точке. Тогда смешанное произведение векторов  - r₀, r'₀ и r"₀ должно быть равно нулю, так как все они параллельны соприкасающейся плоскости (рис. 97):

     Это и есть уравнение соприкасающейся плоскости в векторном виде. Если = (x, y, z), r₀ = (x₀, y₀, z₀), r'₀ = (x'₀, y'₀, z'₀), r"₀ = (x"₀, y"₀, z"₀), то уравнение (18.25) можно переписать в виде

Формула для кривизны  Оглавление  Центр кривизны. Эволюта