18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой

    Пусть кривая Г = {r(t); < t < b} лежит в некоторой плоскости; тогда и все производные векторной функции r(t), если их начало поместить на эту плоскость, будут также в ней лежать. В самом деле, приращение дельтаr = r(t0 + дельтаt) - r(t0) лежит в этой плоскости, поэтому лежит в ней и отношение дельтаr/дельтаt, а следовательно, и его предел (дельтаr/дельтаt) = r' . Применив те же рассуждения к r', получим, что и r" лежит в указанной плоскости и т. д. Отсюда следует, что если кривая лежит в некоторой плоскости, то касательная к кривой (а если ее кривизна kне равно0, то и главная нормаль) лежит в той же плоскости. Поэтому эта плоскость является соприкасающейся плоскостью для рассматриваемой кривой.
    Запишем некоторые из формул, полученных в п. 18.4, более подробно для случая, когда кривая Г = {r(t); < t < b} лежит в плоскости переменных x и y. В этом случае

r' = (x', y'),    r" = (x", y"),    |r'| = (x' 2 +  y' 2)1/2,
     |r' x r'| = |x'y" - x"y'|.

Поэтому из формул (18.4) и (18.10) получаем следующую формулу для кривизны:

(18.29)

    Обозначим через (ksi,eta) центр кривизны кривой Г. Из формул (18.27) и (18.28) следует, что

(18.30)

Аналогично,

(18.31)

    В случае когда кривая задается явно, т. е. функцией

y = f(x),    < x < b

(18.32)

(в этом случае x = t, x' = 1, x" = 0) s' = (1 + y' 2)1/2, формулы (18.29), (18.30), (18.31) принимают вид

(18.33)
        

(18.34)

Рис. 99
Рис. 99

На примере кривой, имеющей явное задание, поясним, что кривизна кривой является угловой скоростью вращения касательной к этой кривой относительно длины ее дуги.
    Обозначим через alpha угол, образованный касательной к кривой (18.7) с осью x (рис. 99), и будем его рассматривать как функцию длины дуги s этой кривой, а s в свою очередь, - как функцию переменной x.
Дифференцируя по x равенство y' = tg alpha, получим

(18.35)

где (см. замечание 4 в п. 17.3) s' = (1 + y' 2)1/2.
Поэтому y" = (1 + y' 2)3/2dalpha/ds, таким образом,

(18.36)

т. е. действительно кривизна кривой k равна абсолютной величине угловой скорости dalpha/ds вращения касательной.
    Примеры.
    1. Найдем кривизну и эволюту параболы y2 = 2px. Дважды дифференцируя это уравнение по x, получим yy' = p, y' 2 + yy" = 0 и, следовательно,

y' = p/y,   y" = - y' 2/y = p2/y3,

Подставив эти выражения в формулу (18.33), найдем кривизну

(18.37)

и, подставив их в формулы (18.34), - уравнение эволюты

(18.38)

(18.39)

    Таким образом, в получившемся уравнении эволюты параболы роль параметра играет переменная y; исключив ее из этих уравнений, получим

    Эта кривая, как мы знаем (п. 3.7), называется полукубической параболой (рис. 100).

fig100.gif (1944 bytes)
Рис. 100
fig101.gif (2877 bytes)
Рис. 101

    2. Найдем радиус кривизны R и эволюту эллипса

x = acos t,    y = bsin t,     > b > 0.

Заметив, что x' = -asin t, y' = bcos t, x" = -acos t, y" = -asin t, в силу формулы (18.29) получим

а из формул (18.30), (18.31) получим уравнение эволюты


Исключив из этих уравнений параметр t (для чего достаточно возвести их в степень 2/3 и сложить их), найдем уравнение эволюты в неявном виде

Полученная кривая называется астроидой (рис. 101).


Центр кривизны. Эволюта    Оглавление   Первообразная и неопределенный интеграл