20.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей

    В этом параграфе будут рассматриваться рациональные дроби, у которых в числителе и знаменателе стоят многочлены с действительными коэффициентами. Будет всегда предполагаться, что коэффициент у старшего члена многочлена, стоящего в знаменателе, равен 1 (этого, очевидно, всегда можно достичь, поделив числитель и знаменатель дроби на указанный коэффициент).
    Будут изложены методы, с помощью которых можно вычислить, т. е. выразить через элементарные функции, интегралы от рациональных дробей.
    Рассмотрим сначала элементарные дроби вида . Если
n > 1, то

Если n = 1, то

Вычислим теперь интеграл от элементарной дроби вида

     p²/4 - q < 0,      n = 1, 2, ...

Заметив, что

где a² q - p²/4, и положив t = x + p/2, будем иметь

    Таким образом, вычисление интеграла сводится к вычислению интегралов, стоящих в правой части получившегося равенства.
    Если n = 1, то

Если же n > 1, то

Для интеграла I_n , n > 1, выведем с помощью интегрирования по частям рекуррентную формулу, т. е. выразим I_n через I_n+1:

Так как интеграл I₁ уже вычислен (см. (20.4)), по формуле (20.6) можно последовательно вычислить I₂, I₃ и т. д.
    Таким образом, интеграл от любой элементарной дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.

Формула интегрирования по частям  Оглавление   Общий случай