Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не обращается в нуль, существует и выражается через элементарные функции, являющиеся линейной комбинацией композиций рациональных дробей, логарифмов и арктангенсов.
Для доказательства
достаточно, поделив числитель на знаменатель,
данную рациональную дробь P(x)/Q(x)
представить в виде P(x)/Q(x) = S(x) + R(x)/Q(x),
где S(x) и R(x) - многочлены,
причем степень многочлена R(x) меньше
степени многочлена Q(x), т. е. R(x)/Q(x) -
правильная рациональная дробь. Разложив ее
согласно теореме 2 из
п. 3.5 на элементарные, получим, что всякая
рациональная дробь является либо многочленом,
либо суммой многочлена и конечного числа
элементарных рациональных дробей. Интеграл от
каждого слагаемого этой суммы (см. п. 19.3 и п. 20.1)
имеет вид, указанный в теореме. 
Следует отметить, что при применении описанного метода интегрирования рациональных дробей на практике он приводит к окончательному результату, т. е. к элементарной функции, только в том случае, когда удается найти все корни знаменателя интегрируемой рациональной дроби.