Теорема 2. Если функции u(x)
и v(x) дифференцируемы на некотором
промежутке и на этом промежутке существует
интеграл u dv,
то на нем существует и интеграл
v du, причем
|
(19.24) |
Эта формула называется формулой
интегрирования по частям неопределенного
интеграла.
Пусть функции u и v
дифференцируемы на промежутке
; тогда по правилу дифференцирования
произведения d(uv) = v du + u dv,
и потому
u dv = d(uv) - v du |
(19.25) |
Интеграл от каждого слагаемого
правой части существует: интеграл u dv существует по
условию, а по свойству 1o
из п. 19.2 имеем
|
(19.26) |
Поэтому, согласно свойству
3o из п. 19.2, существует и интеграл v du, причем
u dv
d(uv) -
v du
uv -
v du
где постоянная интегрирования C
(см. (19.26)) отнесена к интегралу u dv. Формула (19.24)
доказана.
Пример. Для
вычисления интеграла
x ln x dx положим u = ln x,
dv = x dx; тогда du = dx/x,
v = x2/2 и, следовательно,
Формула замены переменной Оглавление Интегрирование элементарных рациональных дробей