19.5. Формула интегрирования по частям

    Теорема 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл u dv, то на нем существует и интеграл v du, причем

    Эта формула называется формулой интегрирования по частям неопределенного интеграла.
Пусть функции u и v дифференцируемы на промежутке ; тогда по правилу дифференцирования произведения d(uv) = v du + u dv, и потому

    Интеграл от каждого слагаемого правой части существует: интеграл u dv существует по условию, а по свойству 1^o из п. 19.2 имеем

Поэтому, согласно свойству 3^o из п. 19.2, существует и интеграл v du, причем

u dv d(uv) - v du uv - v du

где постоянная интегрирования C (см. (19.26)) отнесена к интегралу u dv. Формула (19.24) доказана.  Пример. Для вычисления интеграла x ln x dx положим u = ln x, dv = x dx; тогда du = dx/x, v = x²/2 и, следовательно,

Формула замены переменной  Оглавление   Интегрирование элементарных рациональных дробей