Рассмотрим интеграл .
Будем предполагать, что числа r1, ..., rn
рациональны и записаны с одним и тем же
знаменателем: ri = pi/m,
m - натуральное число, pi целые, i = 1,
2, ... n, и что определитель не равен 0. Если бы
=
0, то существовали бы такие числа
,
, что
2
+
2
0
и
a +
c
= 0,
b +
d
= 0, a тогда, например, при
0 имело бы место равенство
и, следовательно, функция была бы просто рациональной функцией.
Сделаем в рассматриваемом интеграле
замену переменной
(21.1) |
откуда
(21.2) |
Здесь (t) -
рациональная функция, поэтому
'(t) - также рациональная
функция. Поскольку
dx = '(t)dt,
, j = 1, 2,
... n,
то
=
где - рациональная
функция. Таким образом, замена переменной (21.1)
сводит интеграл
(21.3) |
к интегралу от рациональной функции. К рассмотренному типу интегралов относятся интегралы вида
, a
0,
в частности интегралы .
Пример. .
Сделаем согласно формуле (21.1) замену переменной t2 = x,
t > 0, откуда dx = 2tdt и,
следовательно,
К интегралам вида (21.3) иногда удается
свести интегралы других типов, например,
интегралы вида
dx,
когда квадратный трехчлен x2 + px + q
имеет действительные корни. В самом деле, если x2 + px + q = (x - a)(x - b),
то
=
=
=
,
где R1 - рациональная функция. Поэтому
dx =
dx
и в правой части получился интеграл типа (21.3).
Рациональные функции от функций Оглавление Интегралы от дифференциального бинома