Рассмотрим интеграл вида
|
(21.4) |
его подынтегральное выражение называется дифференциальным
биномом. Будем рассматривать случаи, когда ,
и
являются
рациональными, а a и b - произвольными
действительными числами. Сделаем в интеграле (21.4)
замену переменной
(21.5) |
тогда и ,
следовательно,
|
(21.6) |
Таким образом, интеграл (21.4) с помощью подстановки (21.5) сводится к интегралу вида
|
(21.7) |
где и
- рациональные числа,
= (
+ 1)/
- 1.
Рассмотрим три случая.
1. - целое
число. Пусть
= m/n,
где m и n > 0 - целые числа. Согласно
результатам п. 21.1
подстановка u = t1/n
сводит интеграл (21.7) к интегралу от рациональной
дроби.
2. - целое
число. Пусть теперь
= m/n,
где m и n > 0 - целые числа. Тогда
согласно тому же п. 21.1 интеграл (21.7) приводится
к интегралу от рациональной функции с помощью
подстановки u = (a +bt)1/n.
3. +
- целое число. Пусть, как
и выше,
= m/n, где m
и n > 0 - целые числа. Имеем
=
.
Снова получился интеграл типа,
рассмотренного в п. 21.1: подстановка u = [(a +bt)/t]1/n
сводит его к интегралу от рациональной функции.
Итак, в трех случаях, когда ,
или
+
являются целыми числами, интеграл (21.7) сводится к
интегралу от рациональных функций. Поэтому если
хотя бы одно из чисел
, (
+ 1)/
или (
+ 1)/
+
в первоначальном интеграле
(21.4) является целым числом, то этот интеграл
сводится к интегралу от рациональных функций и,
следовательно, выражается через элементарные
функции.
Русский математик П.Л. Чебышев показал, что ни в каком
другом случае рациональных показателей ,
и
интеграл (21.4)
не выражается через элементарные функции.